《2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 2.2.1.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 2.2.1.1 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 第 1 课时 综合法 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 设 a,bR,若 a-|b|0,则下列不等式正确的是( ) A.b-a0B.a3+b30 解析a-|b|0,|b|0,-a0. 答案 D 2 函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( ) A.(-,2)B.(0,3) C.(1,4)D.(2,+) 解析 f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex,令 f(x)0,解得 x2,故选 D. 答案 D 3 已知在等差数列an中,a5+a11=16,a4=1,则 a12的值是( ) A.15B
2、.30C.31D.64 解析已知在等差数列an中,a5+a11=16, 又 a5+a11=2a8,所以 a8=8. 又 2a8=a4+a12,所以 a12=15.故选 A. 答案 A 4 已知 a0,b0,且 a+b=2,则( ) A.abB.ab 1 2 1 2 C.a2+b22D.a2+b23 解析由 a+b=2,可得 ab1,当且仅当 a=b=1 时取等号. 又 a2+b2=4-2ab,a2+b22. 答案 C 5 已知实数 a0,且函数 f(x)=a(x2+1)-有最小值-1,则 a= . (2 + 1 ) 解析 f(x)=ax2-2x+a- 有最小值,则 a0,对称轴为 x= ,f(
3、x)min=f=-1, 1 1 ( 1 ) 即 f=a-2 +a- =-1, ( 1 ) ( 1 ) 2 1 1 即 a- =-1, 2 所以 a2+a-2=0(a0),解得 a=1. 答案 1 6 设 p,q 均为实数,则“q0.所以“方程 x2+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”成立. 因为“方程 x2+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”,所以 q + + 分析解答本题可先把 abc=1 代入,再利用基本不等式进行推证. 证明因为 a,b,c 为不全相等的正数,且 abc=1, 所以=bc+ca+ab. 1 + 1 + 1 又 bc+ca2=2, ca+ab2=2,ab+bc2
4、=2,且 a,b,c 不全相等,所以上述三个不等式中的“=” 不能同时成立. 所以 2(bc+ca+ab)2(), + + 即 bc+ca+ab. + + 故. 1 + 1 + 1 + + 8 在ABC 中,三边 a,b,c 成等比数列.求证:acos2+ccos2b. 2 2 3 2 证明a,b,c 成等比数列, b2=ac. 左边= (1 + ) 2 + (1 + ) 2 = (a+c)+ (acos C+ccos A) 1 2 1 2 = (a+c)+ 1 2 1 2( 2+ 2 - 2 2 + 2+ 2 - 2 2 ) = (a+c)+ b=b+b=右边,当且仅当 a=c 时,等号成立
5、, 1 2 1 2 + 2 2 = 3 2 acos2+ccos2b. 2 2 3 2 9 若 a,b,c 是不全相等的正数,求证: lg +lg +lg lg a+lg b+lg c. + 2 + 2 + 2 证明a,b,c(0,+), 0,0,0. + 2 + 2 + 2 又 a,b,c 是不全相等的正数, 故上述三个不等式中等号不能同时成立. abc 成立. + 2 + 2 + 2 上式两边同时取常用对数, 得 lg lg(abc), ( + 2 + 2 + 2 ) lg +lg +lg lg a+lg b+lg c. + 2 + 2 + 2 能力提升能力提升 1 若 a,b,c 是常数
6、,则“a0,且 b2-4ac0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析因为 a0,且 b2-4ac0 对任意 xR 恒成立.反之,ax2+bx+c0 对任意 xR 恒成立 不能推出 a0,且 b2-4ac0 时也有 ax2+bx+c0 对任意 xR 恒成立,所以 “a0,且 b2-4ac0”的充分不必要条件. 答案 A 2 在面积为 S(S 为定值)的扇形中,弧所对的圆心角为 ,半径为 r,当扇形的周长 p 最小时,r 的值 分别是( ) A.=1,r=B.=2,r= 4 C.=2,r=D.=2,r= 3 解析因为 S= r2,所以 =. 1
7、 2 2 2 又扇形周长为 p=2r+r=24, ( + ) 所以当 r= ,即 r=时,p 取最小值,此时 =2. 故选 D. 答案 D 3 若 O 是平面上的定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 +,0,+),则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) = ( | + |) A.外心B.内心 C.重心D.垂心 解析因为+, = ( | + |) 所以=. ( | + |) 所以 AP 是ABC 中BAC 的内角平分线.故动点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心. 答案 B 4 已知 sin +sin +sin =0,cos +cos +cos =0,则 cos(-)的值为
8、 . 解析sin +sin +sin =0,cos +cos +cos =0, + = - , + = - . ? 以上两式两边平方相加,得 2+2(sin sin +cos cos )=1,cos(-)=- . 1 2 答案- 1 2 5 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 M=0,1,2,q-1,集合 A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,n. (1)当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A; (2)设 s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中 ai,biM,i=1,2,n.证明:若 an0,nN,n2.
9、(1)证明:函数 Fn(x)=fn(x)-2 在内有且仅有一个零点(记为 xn),且 xn=; ( 1 2 ,1 ) 1 2 + 1 2 + 1 (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为 gn(x),比较 fn(x) 和 gn(x)的大小,并加以证明. (1)证明 Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+xn-2, 则 Fn(1)=n-10, Fn=1+-2 ( 1 2) 1 2 +(1 2) 2 ( 1 2) =-2=- 0, 故 Fn(x)在内单调递增, ( 1 2 ,1 ) 所以 Fn(x)在内有且仅有一个零点 xn. ( 1 2 ,1 ) 因为 x
10、n是 Fn(x)的零点,所以 Fn(xn)=0, 即-2=0,故 xn=. 1 - + 1 1 - 1 2 + 1 2 + 1 (2)解当 x=1 时,fn(x)=gn(x); 当 x1 时,fn(x)0. ( + 1)(1 + ) 2 当 x=1 时,fn(x)=gn(x). 当 x1 时,h(x)=1+2x+nxn-1-. ( + 1) - 1 2 若 0xn-1+2xn-1+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0. ( + 1) 2 ( + 1) 2 ( + 1) 2 若 x1,h(x)xn-1+2xn-1+nxn-1-xn-1 ( + 1) 2 =xn-1-xn-1=0. ( + 1) 2 ( + 1) 2 所以 h(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减, 所以 h(x)h(1)=0,即 fn(x)gn(x). 综上所述,当 x=1 时,fn(x)=gn(x); 当 x1 时,fn(x)gn(x).
