《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：模块综合检测 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：模块综合检测 （10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、模块综合检测模块综合检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1 下列结论正确的个数是( ) 命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题;命题“xR,x2+1=,解得 z=0. | = 2 + 2 31 + 2 = 2 3 答案:A 7 已知向量 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若 ab,设|a-b|=k,则 a-b 与 x 轴上的单位向量的夹角的余弦值 为( ) A.B. 1 - 2 2 - 1 C.D. | 1 - 2| (1 - 2) 解析:a-b
2、=(x1-x2,y1-y2,z1-z2),x 轴上的单位向量可设为 n=(1,0,0)或(-1,0,0), (a-b)n=(x1-x2). 又|a-b|=k,|n|=1, 夹角的余弦值为. (1 - 2) 答案:D 8 如果命题“(p)(q)”是假命题,那么在下列各结论中,正确的为( ) 命题“pq”是真命题 命题“pq”是假命题 命题“pq”是真命题 命题“pq”是假命题 A.B.C.D. 解析:由“(p)(q)”是假命题,知p 和q 均为假命题p 为真,q 为真,则 pq 为真,pq 为真,则 正确,故选 A. 答案:A 9 椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率
3、为( ) A.B.C.D. 10 10 17 17 2 13 13 37 37 解析:焦距为 2c,短轴长为 2b,由已知,得 2c=,故 b=3c.又a2=b2+c2=9c2+c2=10c2, 2 3 e=. = 10 10 答案:A 10 以双曲线=1 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( ) 2 4 2 5 A.y2=12xB.y2=-12x C.y2=6xD.y2=-6x 解析:由=1,得 a2=4,b2=5,c2=a2+b2=9. 2 4 2 5 右焦点的坐标为(3,0),故抛物线的焦点坐标为(3,0),顶点坐标为(0,0). 故 =3.抛物线方程为 y2=12x
4、. 2 答案:A 11 设 F1,F2是双曲线 x2-4y2=4a(a0)的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足: =0,|=2,则 a 的值为( ) 1212 A.2B.C.1D. 5 25 解析:双曲线方程可化为=1(a0), 2 4 2 =0,PF1PF2. 12 |2+|2=4c2=20a. 12 由双曲线定义,知|-|=4, 12 又已知|=2, 12 由,得 20a-22=16a,a=1. 答案:C 12 过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆 +y2=1 交于 P1,P2两点,线段 P1P2的中点为 P.设直线 m 的斜率 2 2 为 k1(k10),直线 OP 的斜率为 k2,
5、则 k1k2的值为( ) A.2B.-2C.D.- 1 2 1 2 解析:设直线 m:y=k1(x+2)代入 +y2=1, 2 2 得 x2+2(x+2)2-2=0, 2 1 整理,得(1+2)x2+8x+8-2=0. 2 1 2 1 2 1 =(8)2-4(1+2)(8-2)0, 2 1 2 1 2 1 解得.设 P1P2的中点 P0(x0,y0), 2 11)的点的轨迹.给出 下列三个结论: 曲线 C 过坐标原点; 曲线 C 关于坐标原点对称; 若点 P 在曲线 C 上,则F1PF2的面积不大于 a2. 1 2 其中,正确结论的序号是 . 解析:曲线 C 经过原点,则当曲线 C 上点 P
6、为原点时,|PF1|PF2|=1,即 a=1,这与 a1 矛盾,所以错 误;曲线 C 关于原点对称,设曲线 C 上点 P 关于原点的对称点为 P,则|PF1|=|PF2|,|PF2|=|PF1|,满 足|PF1|PF2|=a2,所以正确;由三角形面积公式 S= absin C,得 1 2 |PF1|PF2|sinF1PF2 |PF1|PF2|= ,所以正确. 12 = 1 2 1 2 2 2 答案: 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(12 分)已知椭圆 D:=1 与圆 M:x2+(y-m)2=9(mR),双曲线 G 与椭圆 D 有相
7、同的焦点,它 2 50 + 2 25 的两条渐近线恰好与圆 M 相切.当 m=5 时,求双曲线 G 的方程. 解:椭圆 D:=1 的两个焦点为 F1(-5,0),F2(5,0),故双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,且 c=5. 2 50 + 2 25 设双曲线 G 的方程为=1(a0,b0), 2 2 2 2 则 G 的渐近线方程为 y=x, 即 bxay=0,且 a2+b2=25.当 m=5 时,圆心为(0,5),半径为 r=3,于是=3a=3,b=4.故双曲线 |5| 2+ 2 G 的方程为=1. 2 9 2 16 18(12 分)已知命题 p:不等式|x-1|m-1 的解集为 R,命
8、题 q:f(x)=-(5-2m)x是减函数,若 pq 为真命 题,pq 为假命题,求实数 m 的取值范围. 解:因为不等式|x-1|m-1 的解集为 R,所以 m-11,m0)的焦点,直线 9 2 ( 1, - 3 2 2) PF 与圆相切. (1)求 m 的值与抛物线的方程; (2)设点 B(2,5),点 Q 为抛物线上的一个动点,求的取值范围. 解:(1)把点 A 代入圆 C 的方程,得(1-m)2+, (- 3 2 2) 2 = 9 2 m=1.圆 C:(x-1)2+y2= . 9 2 当直线 PF 的斜率不存在时,不合题意. 当直线 PF 的斜率存在时,设为 k, 则 PF:y=k(x
9、-1)+3,即 kx-y-k+3=0. 直线 PF 与圆 C 相切,.解得 k=1 或 k=-1. | - 0 - + 3| 2+ 1 = 3 2 2 当 k=1 时,直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为-2,不合题意,舍去. 当 k=-1 时,直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为 4, =4.抛物线方程为 y2=16x. 2 (2)=(-1,-2), 设 Q(x,y),=(x-2,y-5),则 =-(x-2)+(-2)(y-5) =-x-2y+12=-2y+12 2 16 =-(y+16)2+2828. 1 16 的取值范围为(-,28. 20(12 分) 如图所示,在四棱锥 P-ABCD
10、中,PC平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,ABC=BCD=90, AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30角. 求证:(1)CM平面 PAD. (2)平面 PAB平面 PAD. 证明以点 C 为坐标原点,CB 所在直线为 x 轴,CD 所在直线为 y 轴,CP 所在直线为 z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系 Cxyz, 因为 PC平面 ABCD,所以PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角. 所以PBC=30. 因为 PC=2,所以 BC=2,PB=4. 3 所以 D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0
11、,0,2),M. 33 ( 3 2 ,0,3 2) 所以=(0,-1,2),=(2,3,0),. 3 =( 3 2 ,0,3 2) (1)令 n=(x,y,z)为平面 PAD 的法向量, 则 = 0, = 0, ? 即 - + 2 = 0, 2 3 + 3 = 0, ? 所以令 y=2,得 n=(-,2,1). = 1 2 , = - 3 2 , ? 3 因为 n=-+20+1 =0, 3 3 2 3 2 所以 n. 又 CM平面 PAD,所以 CM平面 PAD. (2)取 AP 的中点 E, 则 E(,2,1),=(-,2,1). 33 因为 PB=AB, 所以 BEPA. 又因为=(-,2
12、,1)(2,3,0)=0, 33 所以, 所以 BEDA. 又因为 PADA=A,所以 BE平面 PAD. 又因为 BE平面 PAB, 所以平面 PAB平面 PAD. 21(13 分)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,SD底面 ABCD, AD=,DC=SD=2.点 2 M 在侧棱 SC 上,ABM=60. (1)求证:M 是侧棱 SC 的中点; (2)求二面角 S-AM-B 的余弦值的大小. (1)证明以 D 为坐标原点,射线 DA,DC,DS 为 x 轴、y 轴、z 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标 系 Dxyz.则 A(,0,0),B(,2,0),C(0,2,
13、0),S(0,0,2). 22 设=(0), 则 M, ( 0, 2 1 + , 2 1 + ) 所以. =( 2, 2 1 + , - 2 1 + ) 又=(0,2,0),等于二面角 S-AM-B 的平面角, , 所以 cos=-, , | 6 3 故二面角 S-AM-B 的余弦值为-. 6 3 22(13 分)已知椭圆=1 与射线 y=x(x0)交于点 A,过 A 作倾斜角互补的两条直线,它们与 2 2 + 2 42 椭圆的另一交点为点 B 和点 C. (1)求证:直线 BC 的斜率为定值,并求出这个定值; (2)求ABC 面积的最大值. (1)证明由得 A(1,). 2 2 + 2 4
14、= 1, =2( 0) ? 2 设直线 AB 的斜率为 k,则直线 AC 的斜率为-k. 直线 AB 的方程为 y=k(x-1)+, 2 直线 AC 的方程为 y=-k(x-1)+, 2 将代入椭圆方程并化简得 (k2+2)x2-2(k-)kx+k2-2k-2=0. 22 1 和 xB是它的两个根, xB=, 2- 2 2 - 2 2+ 2 yB=kxB+-k=. 2 - 22- 4 + 2 2 2+ 2 同理可得 xC=, 2+ 2 2 - 2 2+ 2 yC= - 22+ 4 + 2 2 2+ 2 kBC=. - - =2 (2)解:设直线 BC 的方程为 y=x+m,代入椭圆方程并化简得 4x2+2mx+m2-4=0, 22 |BC|=|x1-x2|=. 3 3 16 - 22 2 A 到 BC 的距离为 d=, | 3 SABC= 2(16 - 22) 4 , 1 4 2 22+ (16 - 22) 2 =2 当且仅当 2m2=16-2m2,即 m=2 时,上式等号成立
