《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.2.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.2.2 （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 课时 用向量方法解决垂直问题 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 已知 a=(sin ,cos ,),b=,且 ab,则 等于( ) 2 (, 2 2) A.-B. 4 4 C.2k- (kZ)D.k- (kZ) 2 4 解析:ab,ab=sin cos +cos sin +1=0, 即 sin 2+1=0,=k- (kZ). 4 答案:D 2 已知平面 的一个法向量为 n=(2,-1,0),则下列向量中与 垂直的是( ) A.(-1,1,1)B.( 1,3, 3 2) C.D.(4,-2,2) ( 3, - 3 2 ,0 ) 解析:与平面 垂直的向量与 的法向量平行,只有 C 项
2、符合. 答案:C 3 下列说法不正确的是( ) A.平面 的一个法向量垂直于与平面 共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也互相垂直 D.如果 a,b 与平面 共面,且 na,nb,那么 n 就是平面 的一个法向量 解析:选项 D 中,若 a,b 共线,则 n 就不是平面 的一个法向量. 答案:D 4 设直线 l1,l2的方向向量分别为 a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若 l1l2,则 m 等于( ) A.-2B.2C.6D.10 答案:D 5 若平面 , 垂直,则下面可以作为这两个平面的法向量的是( ) A.n1=(1,2,
3、1),n2=(-3,1,1) B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1) D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2) 答案:A 6 已知直线 l1的方向向量为 a=(2,-2,x),直线 l2的方向向量是 b=(2,y,2),且|a|=3,l1l2,则 y-x 的值为 ( ) A.2B.-4 或-1 C.4D.0 答案:A 7 已知 A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点 P(x,0,z),若,则点 P 的坐标为 . , 解析:由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1), 由,得=
4、x-1+z=0, 由,得=-2x-z=0, 解得故 P(-1,0,2). = - 1, = 2. ? 答案:(-1,0,2) 8 如图,ABC 和BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E,F 分别为 AC,DC 的中点. 求证:EFBC. 证明由题意,以点 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过点 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,在 平面 ABC 内过点 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 易得 B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0). 33 因为 E,F, ( 0
5、, 1 2, 3 2) ( 3 2 ,1 2 ,0 ) 所以=(0,2,0). =( 3 2 ,0, - 3 2), 所以=0. 所以.所以 EFBC. 9 如图,四边形 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,PA=AD,M,N 分别为 PC,AB 的中点,求证:MN平 面 PCD. 分析设=a,=b,=c,则a,b,c为基底,利用 a,b,c 把表示出来,证明,即 , , 可证明 MN平面 PCD. 证明设=a,=b,=c, 则a,b,c为空间的一个基底, 则)= b- (a+b+c)=- (a+c). = = 1 2 1 2( + 1 2 1 2 1 2 因为 PA矩形 ABCD, 所以
6、PAAB,PAAD,且 ABAD. 所以 ab=0,bc=0,ca=0. 所以=- (a+c)b=0, 1 2 =- (a+c)(c-a) 1 2 =- (|c|2-|a|2) 1 2 =- (|2-|2)=0. 1 2 所以 MNDC,MNPD.又 DCPD=D, 所以 MN平面 PCD. 能力提升能力提升 1 四边形 ABCD 是菱形,PA平面 ABCD,则下列等式=0;=0;=0; =0 中成立的等式个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 答案:C 2 已知平面 内有一个点 A(2,-1,2), 的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列点 P 中,在平面 内的是( ) A.(1,-1
7、,1)B.( 1,3, 3 2) C.D. (1, - 3, 3 2) (- 1,3, - 3 2) 解析:A,且 A(2,-1,2),n=(3,1,2)为 的法向量,n. 选项 B 中,n=3-4+1=0,则n.故选 B. =(1, - 4,1 2), 答案:B 3 平面上有四个互异的点 A,B,C,D,已知(-2)()=0,则ABC 的形状是( ) + A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 解析:(-2)()=()()=()()=|2- + + + |2=0,则|=|,故选 B. 答案:B 4 已知直线 l1的方向向量 a=(2,4,x),直线 l2的方向向量 b
8、=(2,y,2),若|a|=6,且 ab,则 x+y=( ) A.-3 或 1B.3 或-1C.-3D.1 解析:|a|=6, 22+ 42+ 2 x2=16,x=4. ab,ab=4+4y+2x=0, 当 x=4 时,y=-3;当 x=-4 时,y=1. x+y=1 或 x+y=-3. 答案:A 5 已知空间向量 a,b 是非零向量,且满足(a-2b)a,(b-2a)b,则 a 与 b 的夹角是 . 解析:由(a-2b)a,得|a|2=2ab, 由(b-2a)b,得|b|2=2ab, 故|a|2=|b|2=2ab. 设向量 a 与 b 的夹角为 , 则 cos =.= . | = |2 =
9、1 2 3 答案: 3 6 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对 于结论:APAB;APAD;是平面 ABCD 的法向量;. 其中正确的是 .(填序号) 解析:=(-1,2,-1)(2,-1,-4) =-12+2(-1)+(-1)(-4)=0, APAB,即正确. =(-1,2,-1)(4,2,0) =-14+22+(-1)0=0. APAD,即正确. 又 ABAD=A,AP平面 ABCD, 即是平面 ABCD 的一个法向量,正确.不正确. 答案: 7 在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知点 P(2cos x
10、+1,2cos 2x+2,0)和点 Q(cos x,-1,3),其中 x0,若 直线 OP 与直线 OQ 垂直,则 x 的值为 . 解析:直线 OP 与直线 OQ 垂直, =cos x(2cos x+1)-2cos 2x-2+30 =2cos2x+cos x-2(2cos2x-1)-2 =-2cos2x+cos x=0, 即 cos x=0 或 cos x= . 1 2 又 x0,x=. 2或 3 答案: 2或 3 8 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD底面 ABCD,底面 ABCD 是正方形,AB=2,E 是 PB 的中点,cos=. , 3 3 (1)建立适当的空间直角坐标系,写出点
11、E 的坐标; (2)在底面 ABCD 内求一点 F,使 EF平面 PCB. 解:(1)以 D 为原点,DA,DC,DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由已知 ABCD 是边长为 2 的正方形,设 DP=t(t0),则 P(0,0,t),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),则 E, ( 1,1, 1 2) =(0,0,t),. =(- 1,1,1 2) 故 cos = , | =. 1 2 2 2 + 1 4 2 = 8 + 2 由已知,得,解得 t=2,故 E(1,1,1). 8 + 2 = 3 3 (2)设 F(m,n,0),则=(m-1,n-1,-1)
12、. 又=(-2,0,0),=(0,2,-2), 则解得 m=1,n=0, - 2( - 1) = 0, 2( - 1) + 2 = 0, ? 故 F(1,0,0). 9 在三棱锥 P-ABC 中,底面 ABC 为正三角形,三条侧棱两两垂直,G 是PAB 的重心,E,F 分别为 BC,PB 上的点,且 BEEC=PFFB=12. 求证:(1)平面 GEF平面 PBC; (2)EGBC,PGEG. 证明(1)方法一:如图,以三棱锥的顶点 P 为原点,以 PA,PB,PC 所在直线分别作为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系. 设 PA=PB=PC=3,则 A(3,0,0),B(0,3,0)
13、,C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0), 于是=(3,0,0),=(1,0,0), 则=3,PAFG. 由题意知 PA平面 PBC,FG平面 PBC. 又 FG平面 EFG,平面 EFG平面 PBC. 方法二:同方法一,建立空间直角坐标系, 则 E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0), =(0,-1,-1),=(1,-1,-1). 设平面 EFG 的法向量是 n=(x,y,z), 则有 n,n, + = 0, - - = 0. ? 令 y=1,得 z=-1,x=0,即 n=(0,1,-1). 显然=(3,0,0)是平面 PBC 的一个法向量. 这样 n=0, n,即平面 PBC 的法向量与平面 EFG 的法向量互相垂直. 平面 EFG平面 PBC. (2)=(1,-1,-1),=(1,1,0),=(0,-3,3), =1-1=0,=3-3=0. EGPG,EGBC.
