《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.2.4 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.2.4 （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 4 课时 用向量方法求空间中的距离 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 若 O 为原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为( ) A.B.2C.D. 165 21453 53 2 解析:,.|=. = + 2 =( 2, 3 2 ,3 ) = =(- 2, - 1 2 , - 3 ) 53 2 答案:D 2 已知平面 的一个法向量 n=(-2,-2,1),点 A(-1,3,0)在 内,则点 P(-2,1,4)到平面 的距离为( ) A.10B.3C.D. 8 3 10 3 解析:=(1,2,-4),又平面 的一个法向量为
2、 n=(-2,-2,1),所以点 P 到 的距离为. | | = 10 3 答案:D 3 若三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两垂直,且满足 PA=PB=PC=1,则点 P 到平面 ABC 的距离是( ) A.B.C.D. 6 6 6 3 3 6 3 3 解析:分别以 PA,PB,PC 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(图略),则 A(1,0,0),B(0,1,0), C(0,0,1).可以求得平面 ABC 的一个法向量为 n=(1,1,1),则 d=. | | = 3 3 答案:D 4 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,若 AB=AA1=4,点 D 是 AA1的中点,则
3、点 A1到平面 DBC1的距离是( ) A.B.C.D. 2 2 2 2 3 2 4 答案:A 5 已知直线 l 过原点,一个方向向量为 n=(1,1,1),则点 A(0,0,3)到直线 l 的距离为 . 答案: 3 6 已知 A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点 D 到平面 ABC 的距离为 . 解析:设平面 ABC 的法向量 n=(x,y,z), 则 A = 0, = 0, ? 即(,)(2, - 2,1) = 0, (,)(4,0,6) = 0. ? 可取 n=.又=(-7,-7,7), (- 3 2, - 1,1) 点 D 到平面 ABC 的
4、距离 d=. | | = 49 17 17 答案: 49 17 17 7 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,已知 AA1=9,BC=6,N 为 BC 的中点,则直线 D1C1与平面 A1B1N 3 的距离是 . 答案:9 8 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,E,F 分别是 BB1,CD 的中点,求点 F 到平面 A1D1E 的距 离. 解:建立空间直角坐标系,如图所示, 则 A1(a,0,a),D1(0,0,a),A(a,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),E,F. ( , 2) ( 0, 2 ,0 ) 设平面 A1D1E 的法向量为 n=(x,y,z),
5、 则 n=0,n=0, 111 即 (,)( - ,0,0) = 0, (,)(0, - 2) = 0, ? -ax=0,ay- z=0. 2 令 z=2,得 n=(0,1,2). = 0, = 2, ? 又, 1=( 0, - 2 , ) 所求距离 d=a. | 1| | = 3 2 5 = 3 5 10 9 如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1,BCA=90,AC=BC=2,A1在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中 点 D,又知 BA1AC1. (1)求证:AC1平面 A1BC; (2)求 CC1到平面 A1AB 的距离. (1)证明如图,取 AB 的中点 E,连接 DE,则 DE
6、BC. 因为 BCAC,所以 DEAC. 又 A1D平面 ABC,以的方向为 x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空间直角坐标系,设 ,1 A1D=t(t0),则 A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t),所以=(0,3,t),=(-2,-1,t),=(2,0,0). 11 由=0,知 AC1CB, 1 又 BA1AC1,从而 AC1平面 A1BC. (2)解:由=-3+t2=0,得 t=. 11 3 设平面 A1AB 的法向量为 n=(x,y,z),=(0,1,),=(2,2,0), 1 3 所以 1= +3 = 0, = 2 + 2 = 0
7、. ? 设 z=1,则 n=(,-,1), 33 又 CC1AA1,所以 CC1平面 A1AB. 所以 CC1到平面 A1AB 的距离可转化为点 C1到平面 A1AB 的距离 d,且 d=. | 1| | = 2 21 7 能力提升能力提升 1 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 4,点 E 是 CC1的中点,则点 E 到直线 A1B 的距离为( ) A.B.2C.2D.3 4 3 3652 答案:D 2 正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,则平面 AB1D1与平面 BDC1的距离为( ) A.aB.aC.aD.a 23 2 3 3 3 解析:建立空间直角坐标系如图.
8、则 A(a,0,0),B(a,a,0),D(0,0,0),C1(0,a,a),D1(0,0,a),B1(a,a,a), =(0,a,a),=(-a,0,a),=(-a,0,a),=(0,a,a). 1111 设 n=(x,y,z)为平面 AB1D1的法向量, 则 1= ( + ) = 0, 1= ( - + ) = 0, ? 得取 z=1,则 n=(1,-1,1). = - , = . ? 又AD1BC1,AB1DC1,AD1AB1=A, DC1BC1=C1,平面 AB1D1平面 BDC1. 平面 AB1D1与平面 BDC1的距离可转化为点 C1到平面 AB1D1的距离 d. =(a,0,0)
9、,平面 AB1D1的法向量为 11 n=(1,-1,1),d=a. | 11| | = | 3 = 3 3 答案:D 3 已知二面角 -l- 为 60,动点 P,Q 分别在平面 , 内,点 P 到 的距离为,点 Q 到 的距离 3 为 2,则 P,Q 两点之间距离的最小值为( ) 3 A.B.2C.2D.4 23 解析:作 PM,QN,垂足分别为 M,N. 分别在平面 , 内作 PEl,QFl,垂足分别为 E,F,如图所示, 连接 ME,NF,则 MEl,PEM 为二面角 -l- 的平面角.PEM=60. 在 RtPME 中,|=2, | 60 = 3 60 同理|=4.又, = + + |2
10、=4+|2+16+2+2+2=20+|2+224cos 120=12+|2. 当|2取最小值 0 时,|2最小, 此时|=2. 3 答案:C 4 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长是 1,则点 D1到 AC 的距离为 . 解析:以 A 为原点,AB,AD,AA1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略), 则 A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1). 设 M 为 AC 的中点,则 M. ( 1 2, 1 2 ,0 ) AD1=CD1,MD1即为 D1到 AC 的距离. 而|=, 1 6 2 D1到 AC 的距离为. 6 2 答案: 6 2 5 若向量
11、 a=(1,0,2),b=(0,2,1),a,b 所在平面的一个法向量为 n=(x,y,z),则向量 c=(1,2)在 n 上的 21 射影长是 . 解析:由已知得 + 2 = 0, 2 + = 0, ? 取 z=2,则 n=(-4,-1,2). 则 c 在 n 上的射影长为 d=1. | | = 21 21 答案:1 6 在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 A 到平面 A1BD 的距离为 . 解析:以 D 为原点,以 DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略),则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0
12、,a). 设 n=(x,y,z)为平面 A1BD 的法向量, 则有 1 = 0, = 0, ? 即(,)(,0,) = 0, (,)(,0) = 0. ? 令 x=1.n=(1,-1,-1). + = 0, + = 0, ? 点 A 到平面 A1BD 的距离 d=a. | | = 3 = 3 3 答案:a 3 3 7 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB=90,侧棱 AA1=2,D,E 分别 是 CC1与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G. (1)求 A1B 与平面 ABD 所成角的余弦值; (2)求点 A1到平面 AED
13、的距离. 解:(1)连接 BG,则 BG 是 BE 在平面 ABD 内的射影,即A1BG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 建立如图所示的空间直角坐标系,坐标原点为 C. 设 CA=2a(a0), 则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1), A1(2a,0,2),E(a,a,1),G. ( 2 3 ,2 3 ,1 3) =(0,-2a,1). =( 3, 3, 2 3), =- a2+ =0,解得 a=1. 2 3 2 3 =(2,-2,2),. 1 =(2 3, - 4 3, 1 3) cosA1BG=. 1 | 1| = 14 3 2 3 1 3 21 = 7 3 (2)由(1)有 A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1),则=(-1,1,1)(-1,-1,0)=0, =(0,0,2)(-1,-1,0)=0, 1 ED平面 AA1E. 又 ED平面 AED,平面 AED平面 AA1E. 又平面 AED平面 AA1E=AE, 点 A1在平面 AED 上的射影 K 在 AE 上.设=(R),则=(-,-2). 1 = 1 + 由=0,得 +-2=0,解得 = . 1 2 3 .|=. 1 =(- 2 3, 2 3, - 4 3) 1 2 6 3 故点 A1到平面 AED 的距离为. 2 6
