《2018_2019版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式试题新人教A版选修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018_2019版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式试题新人教A版选修4（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二二 一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式 课后篇巩固探究巩固探究 A A 组 1 1.已知a,b,c均大于 0,A=,B=,则A,B的大小关系是( ) 2+ 2+ 2 3 + + 3 A.ABB.AB C.A0, 所以. 2+ 2+ 2 3 + + 3 答案 B 2 2.若x2+y2+z2=1,则x+y+z 的最大值等于( ) 2 A.2B.4 C.D.8 2 解析由柯西不等式,可得12+12+()2(x2+y2+z2)(x+y+z)2,即(x+y+z)24,因此x+y+z2 2222 当且仅当x=y=,即x=,y=,z=时,等号成立,即x+y+z的最大值等于 2. ( ? 2 1 2
2、1 2 2 2 ? ) 2 答案 A 3 3.已知+=1,+=1,则a1x1+a2x2+anxn的最大值是( ) 2 1+ 2 2 2 2 1+ 2 2 2 A.1B.2 C.3D.4 解析(a1x1+a2x2+anxn)2(+)(+)=11=1,a1x1+a2x2+anxn的最 2 1+ 2 2 2 2 1+ 2 2 2 大值是 1. 答案 A 4 4.设a,b,c均为正数且a+b+c=9,则的最小值为( ) 4 + 9 + 16 A.81B.49 C.9D.7 解析由柯西不等式,可得 (a+b+c)81=9,当且仅当 4 + 9 + 16 = 1 9 ( 4 + 9 + 16 ) 1 9(
3、 2 + 3 + 4 ) 2 = 1 9 ,即a=2,b=3,c=4 时,等号成立,故所求最小值为 9. 2 = 3 = 4 答案 C 5 5.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是( ) A.B.C.6D.3 1 6 1 3 解析由柯西不等式,得 (12+12+12)x2+y2+(1-x-y)2 x+y+(1-x-y)2=1, 即x2+y2+(1-x-y)2 , 1 3 当且仅当x=y=1-x-y,即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值. 1 3 1 3 答案 B 6 6.已知a,b,c0,且a+b+c=1,则的最大值为 . 4 + 1 + 4 + 1 +
4、4 + 1 解析由柯西不等式,得()2 4 + 1 + 4 + 1 + 4 + 1 =(1+1+1)2 4 + 14 + 14 + 1 (12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1) =34(a+b+c)+3=21. 当且仅当a=b=c=时,取等号. 1 3 故的最大值为. 4 + 1 + 4 + 1 + 4 + 121 答案 21 7 7.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则的最小值为 . 2 + 2 + 2 解析因为(a+b+c)( 2 + 2 + 2 ) =()2+()2+()2 ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 + ? =18, ? ( 2 ) 2 ( 2 + 2 + 2
5、 ) 2 所以2当且仅当,即a=b=c=3 时,等号成立,故的最小值为 2 + 2 + 2 ( ? 2 = 2 = 2 ? ) 2 + 2 + 2 2. 答案 2 8 8.设a,b,c,x,y,z都是正数,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则= . + + + + 解析由柯西不等式知 2536=(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2=302=2536,当且仅当 =k时,等号成立. = = 由k2(x2+y2+z2)2=2536,解得k=, 5 6 所以=k= . + + + + 5 6 答案 5 6 9 9.已知a+b+c=1,且
6、a,b,c是正数,求证9. 2 + + 2 + + 2 + 证明左边=2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a) ( 1 + + 1 + + 1 + ) (1+1+1)2=9.当且仅当a=b=c=时,等号成立,故原不等式成立. ( 1 + + 1 + + 1 + ) 1 3 1010.已知x,y,zR R,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值. 解由柯西不等式,得x+(-2)y+(-3)z212+(-2)2+(-3)2(x2+y2+z2),即(x-2y-3z)214(x2+y2+z2), 所以 1614(x2+y2+z2). 因此x2+y2+z2 ,当且仅当x=,即当x=
7、,y=-,z=-时,x2+y2+z2的最小值为. 8 7 - 2 = - 3 2 7 4 7 6 7 8 7 B B 组 1 1.已知x2+y2+z2=1,则x+2y+2z的最大值为( ) A.1B.2C.3D.4 解析由柯西不等式,得 (x+2y+2z)2(12+22+22)(x2+y2+z2)=9, 所以-3x+2y+2z3. 当且仅当|x|=时,等号成立. | 2| =| 2| 所以x+2y+2z的最大值为 3. 答案 C 2 2.导学号 26394054 已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,则的最大值 3 + 2 + 等于( ) A.B. 3913 C.13D.18 解析当且
8、仅当 3 + 2 + = 3 + 2 + 1 3 3 (3 + 1 + 1 3)( + 2 + 3) = 39( ? 时,等号成立,故最大值为. 3 = 2 1 = 3 1 3 ? ) 39 答案 A 3 3.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是 . ( 4 + 9 + 36 ) 解析(a+b+c)( 4 + 9 + 36 ) =()2+()2+()2 ( 2 ) 2 +( 3 ) 2 +( 6 ) 2 =(2+3+6)2=121. ( 2 + 3 + 6 ) 2 当且仅当时,等号成立. 2 = 3 = 6 答案 121 4 4.设x,y,zR R,2x+2y+z+8=0,则(x-1
9、)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为 . 解析 2x+2y+z+8=02(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9. 考虑以下两组向量:u u=(2,2,1),v v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u uv v)2|u u|2|v v|2,即 2(x-1)+2(y+2)+(z-3)2(22+22+12)(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2.所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2 =9,当且仅当x=-1,y=-4,z=2 时,等号成立,此时取得最小值 9. ( - 9)2 9 答案 9 5 5.导学号 26394055 已知x1,x2,x3,x4为实数,且x1+x
10、2+x3+x4=6,=12, 2 1+ 2 2+ 2 3+ 2 4 求证 0xi3(i=1,2,3,4). 证明由柯西不等式,得 (x2+x3+x4)2(1+1+1)(), 2 2+ 2 3+ 2 4 由题设条件,得 x2+x3+x4=6-x1,=12-, 2 2+ 2 3+ 2 4 2 1 代入上式,得(6-x1)23(12-), 2 1 36-12x1+36-3, 2 1 2 1 4-12x10,0x13, 2 1 同理可证 0xi3(i=2,3,4). 综上所述,0xi3(i=1,2,3,4). 6 6.导学号 26394056 设实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,试确 定e的最大值. 解由已知,得a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8-e)2=(a+b+c+d)2(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12) =4(16-e2),化简,得 5e2-16e00e,故emax=. 16 5 16 5
