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1、实验内容,什么是分形？ 图形迭代 函数迭代 IFS迭代 分形的应用,实验十二 迭代 (2) -分形,1、什么是分形,分形发展简史 欧氏几何、解析几何、微分几何正则 微积分，复变函数-光滑 反例 1，Cantor集合,Cantor 集合 中点数不可数（比有理数还多！），但其区间长度为零！ 反例 2，Weierstrass函数 其中 1s2 且 ，W(x) 是处处连续、 处处不可微的函数。对应 s=1.4, 的图象是,反例 3，Van Koch 雪花曲线,大自然的不规则性： 树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不 规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它？ B. Mande
2、lbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自 然的几何形态的学科-分形(Fractal) 英国的海岸线有多长？,分形的特性 1、具有无限精细的结构 2、局部与整体的相似性 3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的 拓扑维数 4、具有随机性 5、在大多数情况下，分形可以用非常 简单的方法确定，可能由迭代产生。,分形的维数 1、相似维数：设分形 F 是自相似的，即 F 由 m 个子集构成，每个子集放大 c 倍后同 F一样，则定义 F 的维数为 例如，对于Cantor集， 对于Van Koch 雪花曲线，,对于一条直线段，将它等分，每段长度为原来的1/N，共分为N段。
3、将一个正方形每边等分成N段，共有N2个小正方形。 将一个立方体每边等分成N段，共有N3个小立方体。 一般地，设一图形可分解为m个与之相似的子图形，每个子图形是原来的1/c. 则图形的维数D满足：cD=m.,2、盒子维数：设 是有界集合，其中 R 是正方形。将 R 分成边长为 的子正方形。记 为子正方形中包含 F 中点的子正方形的个数。定义 F 的盒子维数为 例如，对于 Weierstrass处处连续、处处不可微的函数，其分形维数为 s.,分形的应用领域 1、数学：动力系统 2、物理：布朗运动，流体力学中的湍流 3、化学：酶的构造， 4、生物：细胞的生长 5、地质：地质构造 6、天文：土星上的光
4、环 其他：计算机，经济，社会，艺术等等,2、图形迭代生成分形,给定初始图形 ，依照某一规则 对图形反复作用 得到图形序列 其极限图形是分形，作用规则 称为生成元。,例如，Cantor 集的生成元是 Van Koch 雪花曲线的生成元是,2、Minkowski “香肠”,3、Sierpinski地毯,4、龙曲线,5、Hilbert曲线,1862-1943在数学年刊( Mathematische Annalin )上发表短文，提出了能充满平面区域的著名的希尔伯特曲线。,6、花草树木(L系统）,生物学家Lindenmayer提出。一个L系统可表示为一个有序的三元素集合： 其中：V是一些运动过程集合，
5、 w是初始形状， P是生成式。,3、函数迭代产生的分形,用Z表示复数，定义在复平面上的函数 f(Z)称为复变函数。 任意给定初始复数值 ，定义复数序列 对于什么样的初始值 ，复数序列 收敛或有界？,Julia集 考虑复变函数迭代 固定复参数 c，使得迭代序列 有界的初值 在复平面上的分布图形称为Julia集，亦即 迭代序列 有界,1,2,3,1 象尘埃一样的结构 2 稳定的固态型 3象树枝状,Newton分形,Nova分形,猜测一个初始点，然后使用函数的一阶导数，用切线逐渐逼近方程的根。如方程 Z6 + 1 = 0有六个根，用牛顿的方法“猜测“复平面上各点最后趋向方程的那一个根，你就可以得到一
6、个怪异的分形图形。和平常的Julia分形一样，你能永远放大下去，并有自相似性。牛顿分形图形中的颜色显示每个答案的种类及性质，即迭代到目的地花费的时间 . Paul Derbyshire研究牛顿分形图形时，他把Julia集合的常值C加入进去改变了一下算法，并用同样的方法去估算Z，逼近答案，产生奇特的并称之为“Nova“的分形图形。,Mandelbrot集 固定初值 ，使得迭代序列（2）有界的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界 记 则（2）变为,Mandelbrot 集的绘制方法： 1、设制一个最大的迭代次数 N, 图形的大小a,b, 及使用的颜色数 K
7、; 2、设定上界值 M=2; 3、将区域 R:=(p,q)|-MM2 ，则将象素 (i,j)置为颜色 n0 mod K。,固定z0=0，那么对于不同的复数c，函数的迭代结果也不同。由于复数c对应平面上的点，因此我们可以用一个平面图形来表示，对于某个复数c， 函数f(z)=z2+c从z0=0开始迭代是否会发散到无穷。我们同样用不同颜色来表示不同的发散速度，最后得出的就是Mandelbrot集分形图 形：,Julia 集的绘制方法： 1、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K. 2、设定区域的界值 3、将区域 分成 的网格，分别以每个网格点为初值 利用（
8、3）做迭代。如果对所有的 都有 ，则将象素(i, j) 置为黑色。如果从某一步 n 开始， ，则将象素 (i,j)置为颜色 n mod K。,c = 0.45-0.1428 I c = 0.285+0.01 I,c = 0.285 c = -0.8+0.156 I,c = -0.835-0.2321 I c = -0.70176, -0.3842 I,、IFS迭代产生分形,混沌游戏 给定平面上三点A, B, C。再任意给定初始点 , 做下列迭代,当掷出的硬币呈正面,当掷出的硬币呈反面,当掷出的硬币呈侧面,按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图形。故称为混沌游戏。,IFS迭代 IFS-Itera
9、ted Function System 取定n个仿射变换(Affine transformation) 以及n个概率 任给初值 ，以概率 选取变换 进行迭代 则点集 的聚点集合称为一个IFS吸引子。,用IFS绘制分形的方法 、设图形可视区域为 假设采用L 级灰度的图像绘制，总迭代次数为N。 、将 V 分成 的网格，格点为 用 表示矩形区域。用 表示在N次迭代中落入 中点的个数。记 则象素 (i,j)的灰度为,利用IFS迭代可以得到图象压缩的有效方法。对给定的图像，利用 IFS 迭代原理，确定一系列仿射变换 ，使得对任给的概率 ，由 确定的IFS的吸引子就是给定的图像。即要解 IFS 迭代的逆问题。,一些实例 Cantor 树,龙曲线,5、分形欣赏,分形时装,
