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1、数 学 建 模,数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。 勒内笛卡尔,第2章 差分方程模型,数学建模,差分方程建模,1,差分方程模型求解,2,主要内容,第9讲 差分方程建模,数学建模,数学建模,1. 差分方程建模,在实际生活中，人们常常对预测某个变量在未来某个时刻的值感兴趣。 通常可以根据收集一段时间中该变量的相应数据，分析数据的变化规律，建立有关的数学模型，帮助我们更好地预测变量的变化规律。 若采集的数据是离散在时间段上发生的，则可以应用差分方程进行描述和预测。,储蓄存款的收益 患有某一种传染病的人口数,数学建模,1. 差分方程建模,设收集到的离散变量序列 n表示时刻，计算变量在相 邻时刻
2、值的改变量， （改变量=未来值-现在值） 对每个正整数n， 称为序列xn的一阶差分。,一个时间周期的垂直变化,数学建模,1. 差分方程建模,若xn依赖于或近似依赖于现在值xn，即 则可建立一阶差分方程,f(x) 是线性函数,一阶非线性差分方程,一阶线性差分方程,f(x) 是非线性函数,数学建模,一、储蓄存单模型,问题 考虑一开始存入价值为1000元的储蓄存单，在月利率为1%的一个存款周期下，解答下面问题： 每个月不存款，多长时间你的存单能超过3000元？ 每个月取出50元，什么时候能将存款用尽？,模型建立,数学建模,若每个月不存款 若一直将存单存下去，储蓄存单上将会列出如下数列值 其一阶差分为
3、 得到一阶差分方程 d,储蓄存单上数值的变化仅仅是每月利息所得,每个月的价值变化是,n： 月数 xn : n个月储蓄存单的价值,数学建模,一、储蓄存单模型,若每个月取出50元 在一个存款周期内储蓄存单上价值的变化是由周期利息加上取出的50元，得到一阶线性差分方程 总结 若记问题中的利率月利率为r，每月存入支出 y,思考题：1）养老金问题；2）抵押货款买房问题。,数学建模,二、酵母培养物的增长模型,问题 将酵母菌和培养基质一起放在发酵罐中，菌种连续不断地繁殖，经一段时间可以获得成品酵母菌。 如何确定酵母菌繁殖过程，确定合适的培养时间。 通过定时测量酵母菌种生物数量，分析酵母菌繁殖规律。,数据采集
4、,数学建模,酵母生物数量测量值,模型建立,与xn是成正比，即一种线性增长关系，比例系数记为r，由此得到酵母菌预测模型为 估算直线的斜率大约是r=0.5。 得到预测模型,数学建模,酵母菌可以无限增长下去， 这不是真实的。,数据分析 与xn所对应的数据不在过原点直线上，没有明显的线性关系 用一条过原点的直线近似,数学建模,二、酵母培养物的增长模型,在一个生长周期中，应考虑到酵母菌的生长、死亡以及培养物能提供到最大限度的种群数量的能量，而不能支持酵母菌无限繁殖下去数量，当酵母菌繁殖接近最大限度值时，增长会慢下来。 由表可见酵母菌的最大数量估计为665，当xn接近665时，665- xn变得很小，从而,数学建模,二、酵母培养物的增长模型,思考题： 1）接触性传染病的传播 2) 人口增长问题,数据分析 与（665-xn）xn所对应的数据近似过原点直线,Thank you,
