《2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第三章2.2 抛物线的简单性质（二） 2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第三章2.2 抛物线的简单性质（二） 2 （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、A.基础达标 1抛物线 yax21 与直线 yx 相切，则 a 等于( ) A. B. 1 8 1 4 C. D1 1 2 解析：选 B.由消去 y 整理得 ax2x10，由题意 a0，(1) yax21， yx ) 24a0.所以 a . 1 4 2已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 y2x4 与 C 交于 A，B 两点，则 cosAFB( ) A. B. 4 5 3 5 C D 3 5 4 5 解析：选 D.由得或 y24x， y2x4，) x1， y2) x4， y4.) 令 B(1，2)，A(4，4)，又 F(1，0)， 所以由两点间距离公式，得 |BF|2，|AF|5，|A
2、B|3， 5 所以 cosAFB |BF|2|AF|2|AB|2 2|BF|AF| . 42545 2 2 5 4 5 3A，B 是抛物线 x2y 上任意两点(非原点)，当最小时， ，所在两条直线 OA OB OA OB 的斜率之积 kOAkOB( ) A. B 1 2 1 2 C. D 33 解析：选 B.由题意可设 A(x1，x )，B(x2，x )， 2 12 2 (x1，x )，(x2，x )， OA 2 1 OB 2 2 x1x2(x1x2)2 OA OB (x1x2 )2 ， 1 2 1 4 1 4 当且仅当 x1x2 时取得最小值 1 2 OA OB 此时 kOAkOBx1x2
3、. 1 2 4设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5.若以 MF 为直径的 圆过点(0，2)，则 C 的方程为( ) Ay24x 或 y28x By22x 或 y28x Cy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x 解析：选 C.设 M(x0，y0)，A(0，2)，MF 的中点为 N. 由 y22px，F( ，0)， p 2 所以 N 点的坐标为(，) x0p 2 2 y0 2 由抛物线的定义知，x0 5， p 2 所以 x05 . p 2 所以 y0 . 2p（5p 2） 所以|AN| ，所以|AN|2. |MF| 2 5 2 25 4 所以(
4、)2(2)2. x0p 2 2 y0 2 25 4 即. （5p 2 p 2）2 4 ( 2p（5p 2） 2 2)2 25 4 所以 20. 2p（5p 2） 2 整理得 p210p160. 解得 p2 或 p8. 所以抛物线方程为 y24x 或 y216x. 5已知抛物线 C 的方程为 x2 y，过点 A(0，1)和点 B(t，3)的直线与抛物线 C 没 1 2 有公共点，则实数 t 的取值范围是( ) A(，1)(1，) B(，)(，) 2 2 2 2 C(，2)(2，) 22 D(，)(，) 22 解析：选 D.当 AB 的斜率不存在时，x0，其与 x2 y 有公共点，不满足要求；当
5、1 2 AB 的斜率存在时，可设 AB 所在直线的方程为 ykx1，代入 x2 y，整理得 1 2 2x2kx10，(k)2422 得 t(， )(，) 22 6过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，若 A、B 在准线 上的射影为 A1、B1，则A1FB1等于_ 解析：如图，由抛物线定义知|AA1|AF|，|BB1|BF|，所以AA1FAFA1，又 AA1FA1FO， 所以AFA1A1FO， 同理BFB1B1FO， 于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1. 故A1FB190. 答案：90 7已知抛物线 x24y 的焦点为 F，经过 F 的直线与抛物线
6、相交于 A，B 两点，则以 AB 为直径的圆在 x 轴上所截得的弦长的最小值是_ 解析：由题意知满足题意的 AB 所在直线的斜率存在， 故 AB 所在的直线方程可写为 ykx1，代入 x24y， 整理得 x24kx40， x1x24k，由 ykx1 可得 y1y2kx11kx214k22，|AB|y1y2p4k24， 故所截弦长222，当 k0 时弦长取最小值 （2k22）2（2k21）24k233 答案：2 3 8已知定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y22x 上移动，M 为 AB 的中点，则 M 点到 y 轴的最短距离为_ 解析：如图所示，抛物线 y22x 的准线为 l：x ，
7、过点 1 2 A、B、M 分别作 AA、BB、MM垂直于 l，垂足分别为 A、B、M.由抛 物线定义知|AA|FA|，|BB|FB|.又 M 为 AB 中点，由梯形中位线定 理得|MM| (|AA|BB|) (|FA|FB|) |AB| 3 ，则 M 到 y 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 轴的距离 d 1(当且仅当 AB 过抛物线的焦点时取“”)，所以 dmin1，即 M 点到 3 2 1 2 y 轴的最短距离为 1. 答案：1 9已知抛物线 y212x 和点 P(5，2)，直线 l 经过点 P 且与抛物线交于 A、B 两点，O 为坐标原点 (1)当点 P 恰好为线段 AB 的中点时
8、，求 l 的方程； (2)当直线 l 的斜率为 1 时，求OAB 的面积 解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为 A、B 在抛物线上， 所以 y 12x1，y 12x2， 2 12 2 两式相减，得(y1y2)(y1y2)12(x1x2) 因为 P 为线段 AB 的中点， 所以 x1x2，又 y1y24， 所以 k3， y1y2 x1x2 12 y1y2 所以直线 l 的方程为 y23(x5)，即 3xy130. 经验证适合题意 (2)由题意知 l 的方程为 y21(x5)即 yx3. 由得 x218x90. yx3， y212x) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
9、 x1x218，x1x29. 所以|AB| 1k2 （x1x2）24x1x2 24. 232436 又点 O 到直线 xy30 的距离 d， 3 2 所以 SOAB |AB|d 2418. 1 2 1 2 3 22 10如图，设抛物线 C：x24y 的焦点为 F，P(x0，y0)为抛物线上的任一点(其中 x00)， 过 P 点的切线交 y 轴于 Q 点 (1)若 P(2，1)，求证：|FP|FQ|； (2)已知 M(0，y0)，过 M 点且斜率为的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，若 x0 2 (1)，求 的值 AM MB 解：(1)证明：由抛物线定义知|PF|y012， 设过 P 点的切
10、线方程为 y1k(x2)， 由得 x24kx8k40， y1k（x2）， x24y ) 令 16k24(8k4)0 得 k1， 可得 PQ 所在直线方程为 yx1， 所以得 Q 点坐标为(0，1)， 所以|QF|2，即|PF|QF|. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，又 M 点坐标为(0，y0)， 所以 AB 方程为 yxy0， x0 2 由得 x22x0x4y00. x24y， yx0 2 xy0) 所以 x1x22x0，x1x24y0x ， 2 0 由得：(x1，y0y1)(x2，y2y0)， AM MB 所以 x1x2， 由知得(1)2x 4x ，由 x00 可得 x20，
11、 2 22 2 所以(1)24，又 1，解得 32. 2 B.能力提升 1已知抛物线 y22px(p0)与圆(xa)2y2r2(a0)有且只有一个公共点，则( ) Arap Brap Cr0)与抛物 线 y22px(p0)要么没有交点，要么交于两点或四点，与题意不符；当 ra 时，易知圆与 抛物线有两个交点，与题意不符；当 ra 时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且 只有一个公共点，必须使方程(xa)22pxr2(x0)有且仅有一个解 x0，可得 ap.故选 B. 2如图，已知抛物线的方程为 x22py(p0)，过点 A(0，1)作直线 l 与抛物线相交于 P，Q 两点，点 B 的坐标为
12、(0，1)，连接 BP，BQ，设 QB，BP 的延长线与 x 轴分别相交于 M，N 两点如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为3，则MBN 的大小等于( ) A. B. 2 4 C. D. 2 3 3 解析：选 D.由题意设 P(x1，)，Q(x2，)(x1x2)，设 PQ 所在直线方程为 ykx1 代入 x22py，整理得：x22kpx2p0， 则kQB，kPB， x1x22kp， x1x22p. ) 可得 kQBkPB0，又因为 kQBkPB3， 所以 kQB，kPB，即BNM ，BMN ， 33 3 3 所以MBNBNMBMN . 3 3设抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 M(2
13、，0)的直线与抛物线相交于 A，B 两点，与 抛物线的准线交于点 C，|BF| ，则_. 3 2 SBCF SACF 解析：因为|BF| ，所以 B 的横坐标为 ，不妨设 B 的坐标为( ，)，所以 AB 的 3 2 1 2 1 22 方程为 y(x2)， 2 2 3 代入 y24x，得 2x217x80，解得 x 或 8，故点 A 的横坐标为 8.故 A 到准线的 1 2 距离为 819. . S BCF S ACF |BC| |AC| B到准线的距离 A到准线的距离 3 2 9 1 6 答案： 1 6 4抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足
14、AFB120，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则的最大值 |MN| |AB| 为_ 解析：由余弦定理，得|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos 120 |AF|2|BF|2|AF|BF|， 过 A，B 作 AA，BB垂直于准线，则|MN| (|AA|BB|) (|FA|FB|)， 1 2 1 2 所以 |MN| |AB| |FA|FB| 2|AB| |FA|FB| 2 |AF|2|BF|2|FA|FB| 1 2 |AF|2|BF|2|FA|FB| （|AF|BF|）2 1 2 （|AF|BF|）2|AF|BF| （|AF|BF|）2 ， 1 2 1 |AF|BF| （|AF|BF|）2 1 2 1 （|AF|BF| 2 ）2 （|AF|BF|）2 3 3 当且仅当|AF|BF|时，等号成立 答案： 3 3 5已知抛物线 C：y22px(p0)经过点 P(2
