宋根宗课件第十章波动

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1、1,第十章 波 动,2,10-1 机械波的几个概念,一、机械波、简谐波 1.波(波动) (1)波的概念 振动状态在空间的传播过程称为波动。 简称为波。 振动和波动是自然界中重要而常见的物质运动形式。 (2)波源 激发波动的振动系统称为波源。 (3)波的分类 三大类: 机械波、电磁波和物质波。,3,2.机械波 (1)机械波 机械振动在弹性介质中(固体、液体和气体)的传播过程称为机械波。例如：水波、声波、地震波、绳子(或弦)上的波以及晶体内的点阵波。 (2)机械波产生的条件 波源和传播波的弹性介质(或称为媒质)。 (3)机械波传播的特点 波动过程只是振动状态(相位)在弹性介质中的传播，介质中各质点

2、并不随波前进，各质点只是以周期性变化的振动速度在各质点的平衡位置附近振动。,4,3.电磁波 变化的电场和变化的磁场依次激发在空间传播的过程称为电磁波(电磁振动在空间的传播)。 例如：光波、无线电波、X射线、 射线。 电磁波可以在真空中传播，也可以在介质中传播。 4.物质波 物质波(也称为概率波)是微观粒子的一种属性，如电子、质子、中子等微观粒子都具有波动性。 物质波与宏观世界中的波具有完全不同的本质，它遵从量子力学理论,5,5.机械波的传播 如果介质中有一个质点A，因受外界扰动而离开其平衡位置，A点周围的质点就将对 A 作用一个弹性力以对抗这一扰动，使 A 回到平衡位置，同时，A 周围的质点也

3、受到A所作用的弹性力，于是周围质点也离开各自的平衡位置, 并且周围质点对其邻近的外围质点也作用弹性力 介质中一个质点的振动引起邻近质点的振动，临近质点的振动又引起较远质点的振动，于是振动就以一定的速度由近及远的向各个方向传播出去，形成波动。,6,6.波速 振动状态的传播速度称为波速。 7.纵波和横波 (1)纵波 如果介质质点的机械振动方向与波的传播方向一致,这种波称为纵波。固体、液体和气体都能传播机械纵波。 空气中传播的声波是纵波。 (2)横波 如果介质质点的机械振动方向与波的传播方向相互垂直，这种波称为横波。只有固体才能传播机械横波。 如图所示抖动绳子，所得到的就是横波。,7,8,8.简谐波

4、 (1)连续波 波在介质中传播时，如果介质的各个质点均作连续不停的振动，这种波称为连续波。 (2)简谐波 当波源作简谐振动时，介质中各质点也作简谐振动，该波动称为简谐波(余弦波或正弦波)。 其它复杂的波都是由简谐波合成的。,9,二、波线、波面与波前,1.相速（波速） 振动状态的传播速度称为波速。波动就是把振动状态由近及远传播。而振动状态是由振动的相位描述，因此可以认为波动过程是相位在空间的传播过程。所以波速也称为相速。 2.波面(波阵面) 波动过程中振动相位相同的质点连成的面称为波阵面或波面。波面上各质点的相位相同，所以波面是同相面。在任意时刻，空间中都有无穷多个波面。,10,3.波前 波面中

5、最前面的那个波面称为波前。波前所到之处即表示波到达了该处。 4.波线(波射线) 波的传播方向称为波线和波射线。在各向同性的介质中，波线总是与波面垂直。 5.平面波 波面是平面的波动称为平面波。平面波的波线是垂直于波阵面的平行直线。 6.球面波 波阵面是球面的波动称为球面波。球面波的波线是以波源为中心从中心向外的径向直线。,11,12,三、波长、 波的周期和频率、波速,1.波速 (1)波速的决定因素 振动状态的传播速度称为波速。 波在介质中的传播速度取决于介质的物理特性。 对于弹性波来说，波的传播速度取决于介质的惯性和弹性，即介质的密度和弹性模量。和波源无关。 介质的密度； E 固体的体积弹性模

6、量； G固体的切变弹性模量； K流体(液体和气体)介质的体积弹性模量。,13,不同介质中的声速,14,(2)固体介质中体积应变传播的纵波的速度 u 为：,E 固体的体积弹性模量；,(3)固体介质中切变传播的横波速度u为：,G固体的切变弹性模量；,(4)流体(液体和气体)介质中的弹性纵波传播速度 液体和气体中只有体变弹性，没有切变, 在液体和气体中只能传播弹性纵波。 u 为：,K流体介质的体积弹性模量；,15,(5)柔软绳索或弦中，横波的传播速度为(T 张力， 单位长度的质量),(6)理想气体中传播的小振幅声波速度为( 比热容比；p压强； 气体的密度；R普适常数； 摩尔质量)。,空气 =1.40

7、, 标准状态下的声速为331m/s。,16,2.波长、频率和周期 (1)波长 简谐波传播时，同一波线上的两个相邻的相位差为2 的质点之间的距离，即一个完整波的长度称为波长，记为 。 横波波长 波长 等于两相邻波峰之间或两相邻波谷之间的距离; 纵波波长 波长 等于两相邻密集部分的中心之间或两相邻稀疏部分的中心之间的距离。,17,18,(2)周期 波传播一个波长的时间，或一个完整的波长通过波线上某点所需的时间，称为波的周期。记为T。 (3)频率 单位时间内通过观察者(或接收器)的完整波的数目，称为波的频率，记为 v 。 周期或频率只决定于波源的振动。 (4)波长、周期、频率、波速的关系,19,20

8、,例1 在室温下，已知空气中的声速 u1=340ms-1，水中的声速u2=1450ms-1，求: 频率为v1=200Hz和v2=2000Hz的声波在空气中和水中的波长各为多少？,(1)空气中频率为200 Hz和2000Hz 的声波的波长为：,解:,21,(2)水中频率为200 Hz和2000Hz 的声波的波长为：,空气中,水中,200 Hz,2000Hz,22,10-2 平面简谐波的波函数,一、平面简谐波的波函数 1.波函数表示式(波动方程) 描述介质中x 质点的位移 y 随时间 t 变化规律的数学函数式y(x,t)称为波动函数，简称为波函数。 2.平面简谐波的特点 (1) 传播时，介质中各质

9、点都做同一频率的简谐振动。 (2)在任一时刻同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。 (3)波阵面垂直于波射线，故只要知道了任意一条波射线上的传播规律，就可以知道整个平面波的传播规律。,23,平面简谐波波阵面上各点的振动情况完全相同。,24,3.平面简谐波的波函数表达式 (1)已知和假设 设有一平面简谐波, 在无吸收的均匀无限大介质中沿 x 轴正向传播，波速为u。波射线上某点的振动情况为已知，把此点设为坐标原点。 用 x 表示波射线上各质点平衡位置的坐标, 用y表示质点相对于自己的平衡位置的位移。y 和x及 t 的函数关系式即是波函数。 (2)原点的运动方程 设原点

10、在 t 时刻的振动方程为：,设原点的初相为零。,25,(3)P 点在 t 时刻的振动方程 波面由原点O传到 P点时,P点将重复原点O的振动, 振动从原点O传到P点所需要的时间为：,P点于t 时刻的状态相当于原点O于t t0 时刻的状态。,26,(4)波射线上任一点x处的质点任一时刻的波函数 沿正 x 轴方向传播的平面简谐波的波函数。由于P点是任意选的一点，去掉角标P即可。,(5)沿 x 轴负方向传播的平面简谐行波的波函数,该式称为平面简谐波的波函数, 又称为波动方程。,(6)平面简谐行波的波函数的一般表达式,“”沿x 轴正方向传播。 “”沿x 轴负方向传播。,27,4.波函数其它表示形式,28

11、,5.原点初相位不为零时波函数的表示形式,如果原点的振动方程为,则波函数为：,29,6.用其他点(x0)的振动方程表示波函数,相应的波函数为：,30,二、波函数的物理意义,1.若将x=x0 代入方程，即为x=x0处介质质点的振动方程。,31,32,2.若将 t=t0代入波动方程，即为t=t0时刻介质中各质点偏离各自平衡位置的位移依质点坐标而呈现的分布。,33,方程表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的波形，体现了波的传播。这种波又称为行波。,3x、t 都变,波速又称为“相速”。,34,4.波射线上任意两点间的相位差,35,5.波速与介质质点振动速度的区别 波速 u 在均匀介质中是常数，而介质

12、质点的振动速度 v 是时间 t 和位移 x 的函数。,质点的加速度为：,36,例1 一平面简谐波沿Ox轴正方向传播, 已知振幅A=1.0m,周期T=2.0s，波长 =2.0m。在 t =0s时坐标原点处的质点在平衡位置沿Oy轴正向运动。求:(1)波动方程; (2)t=1.0s时各质点的位移分布,并画出该时刻的波形图;(3)x=0.5m处质点的振动规律, 并画出该质点的位移与时间的关系曲线。,解: (1)根据已知条件，写出波动方程的标准式：,37,振幅A=1.0m, 周期T=2.0s，波长 =2.0m,38,(2)求t=1.0s各质点的位移分布，并画出该时刻的波形图；,39,(3) x=0.5m

13、处质点的振动规律，并划出该质点的位移与时间的关系曲线。,40,例2 一平面简谐波以速度 u=20ms-1沿直线传播，已知在传播路径上某点 A 的简谐运动方 程为：,求: (1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程； (3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程； (4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差。,(y、t单位分别为m，s),41,(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程,42,(2)以B为坐标原点，写出波动方程,43,方法二,44,(3)写出传播方向上点C、D的运动方程,点C 的相位比点A 超前,45,点 D 的相位落后于点 A,46,方法二,

14、47,(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差,48,10-3 波的能量 能流密度 一、波动能量的传播,1. 弹性波能量的组成 当弹性波传播到介质中的某处时，该处原来不动的质点开始振动，因而具有动能，同时该处的介质也将产生形变，因而也具有势能。 波动传播时，介质由近及远的振动着，能量因此向外传播出去。 2.固体细棒中弹性纵波的能量分布 (1)条件与假设 平面纵波, y=Acos t ; 传播介质 固体细长棒，截面积为S，密度为 。,49,(2)体积元中的动能,50,(3)体积元中的势能 根据E的定义及虎克定律，可得 k 和E 的关系,势能:,E= u2,51,(4)体积元中的机械能：,3.

15、能量密度w (1)能量密度单位体积中的能量称为能量密度。,(2)平均能量密度 通常取能量密度在一个周期内的平均值。因为正弦函数的平方在一个周期内的平均值为1/2，所以可得：,52,4.讨论 (1)在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随x、t 作周期性变化，且具有相同的相位。,(2)体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大。体积元的位移最大时，三者均为零。,53,(3)任一体积元都在不断地接收能量(从后面的介质获得能量)和放出能量(把能量传递给前面的介质) ，即不断地传播能量，任一体积元的机械能不守恒。,(4)波动是能量传递的一种方式, 能量以波的形式传播。,54,二、能

16、流与能流密度,1.平均能流 (1)能流P 单位时间内垂直通过某空间曲面的能量称为通过该曲面的能流。又称为波的功率。单位:W,(2)平均能流 能流在一个周期内的平均值称为平均能流。平面简谐波垂直通过面积, 有,55,2.平均能流密度(波的强度) 单位时间内通过与波射线相互垂直的单位面积的能量称为平均能流密度或波的强度，记为I。单位：Wm-2,*(2)矢量式 能量密度是矢量，其方向与波速方向一致。,(1)标量式,*(3)能流和能流密度的一般关系式 对于任意形式的波任意形状的曲面,56,例 证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数。,证 明: 介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等:,57,10-4 惠更斯原理 波的衍射和干涉,一、惠更斯原理 1.惠更斯原理 在波的传播过程中，波阵面(波前)上的每一点都可看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就成为新的波阵面。,58,球面波,