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1、数 学 建 模,数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。 勒内笛卡尔,第2章 差分方程模型,数学建模,差分方程建模,1,差分方程模型求解,2,主要内容,第10讲 差分方程模型求解,数学建模,数学建模,一、线性及非线性差分方程求解方法,一阶差分方程平衡点及稳定性定义： 定义：若 x*是方程 x=f (x) 根，则称x*是一阶差分 方程 xn+1=f(xn)的平衡点。如果 则称平衡点x* 是稳定的，否则是不稳定的。,数学建模,一阶线性差分方程两种方法求解 若模型中取 f(x)=ax+b，其中a,b为常数，则可得一阶线性差分方程 利用逐次迭代法定量求解 当 时，解为,一、线性及非线性差分方程求解方
2、法,数学建模,利用几何性质定性分析解 平衡点 1）当|a|1 时，解最终趋于无穷大，平衡点不稳定； 3）当a = 1，b = 0时，初值是平衡点； 4）当 a 1 , b = 0时，无平衡点。,一、线性及非线性差分方程求解方法,数学建模,（1）储蓄存单模型求解 1）若每个月不存款 在120月（10年）后，账户上的价值将超过,平衡点x*不稳定的,一直存下去，价值一直增大到无穷,二、差分方程求解举例,2）若每个月取出50元 计算出在22个月，你的账面价值近似为21.137元。,数学建模,账户的价值逐渐离开平衡点，即在每个月取出50元情况下,你账户上的价值一直在减小。,假设你最初存入的900元，10
3、10元情况下你的储蓄存单是怎样变化的？,二、差分方程求解举例,数学建模,(1)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根,稳定性判断,(1)的近似线性方程,x*也是(2)的平衡点,x*是(2)和(1)的稳定平衡点,x*是(2)和(1)的不稳定平衡点,二、差分方程求解举例,数学建模,（2）酵母培养物的增长模型求解 数值迭代方法 平衡点 x*=665,解最终趋于平衡点,若初值取0.1，对于不同r值会出现 不同结果,二、差分方程求解举例,数学建模,观察参数变化对解的影响 r=1.5446 ，解序列趋于0.35,二、差分方程求解举例,观察参数变化对解的影响 r=2.75 ，解序列趋于0.65.（解是震荡趋于这个极限）,数学建模,观察参数变化对解的影响 r = 3.25 ，解是以震荡方式分别趋于0.5,0.8极限，出现2-周期循环,数学建模,观察参数变化对解的影响 r = 3.525 ，解是以震荡方式出现4-周期循环,数学建模,观察参数变化对解的影响 r = 3.555 ，解是以震荡方式出现8-周期循环,数学建模,观察参数变化对解的影响 r = 3.75 ，没有了规律，展示了混沌行为,数学建模,Thank you,
