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1、有限脉冲响应滤波器的单位脉冲响应长度是有限的，它的差分方程或输入输出方程写为 从方程看，其系统的输出只与输入有关，没有反馈。 有限脉冲响应滤波器的系统函数写为 从函数看，由于系统函数的分母为1，故设计有限脉冲响应滤波器不宜采用无限脉冲响应滤波器的设计方法。,第8章 有限脉冲响应滤波器的设计,(8.1),(8.2),从有限脉冲响应滤波器的差分方程或系统函数来看，有限脉冲响应滤波器具有3个主要优点： （1）其系统肯定是稳定的， （2）它容易得到因果系统， （3）它能获得线性相位的性能。 正是由于有限脉冲响应滤波器的这些特殊性，在设计有限脉冲响应滤波器时，一般使用另一种频谱表示法。 8.1 系统频谱
2、的本质（可以不讲） 单位脉冲响应h(n)代表系统的性能，也代表系统，其系统函数H(z)和系统频谱H()都是系统的一种描述，都代表系统，两者之间的关系是复数z和虚指数ej的关系。,8.1.1 系统频谱的含意 不管是信号还是单位脉冲响应，它们的频谱都是复数，可以用实部和虚部来表示，也可以用幅度和相位来表示，例如信号x(n)的频谱 极坐标方式能直观地体现正弦成分的幅度和初始相位。从显示信号的正弦波成分方面来看，用频谱合成的信号 该方程表示合成序列x(n)的正弦波成分是,(8.3),(8.4),(8.5),若改写正弦波成分的总相位，即 频谱的相位和时间的关系就显现出来了：相位除以角频率得到的商具有时间
3、的概念。 如果argX()0，表示这个频率的正弦波将沿着时序轴n向右移位，这种现象叫做延时。 除了信号频谱的意义外，作为处理信号的系统频谱H()还有另一层的意义，这层意义就是：系统会按照系统频谱H()的幅度改变被处理信号的成分大小，并且按照系统频谱H()的相位改变被处理信号的成分初始位置。 这些意义是根据系统h(n)处理输入信号x(n)的卷积公式得来的。,(8.6),从系统函数来看，根据卷积定理(3.132)，系统的输出在时域和频域有如下对应关系： 频域关系表示，信号x(n)经过线性时不变系统h(n)处理后，频谱X()的幅度和相位都被H()改变，也就是说，输出y(n)的频谱Y()的幅度按照H(
4、)的幅度改变，频谱Y()的初始位置按照H()的相位改变，该关系数学写为 如果|H()|1，则输入的正弦波成分将被系统减弱；如果argH()0，则输入的正弦波经过系统后相位被滞后。 让我们来看一个频率的正弦波情况。,(8.7),(8.8),假设输入信号是幅度为A和初始相位为的正弦波，即 用单位脉冲响应来看这个信号处理。当x(n)经过系统时，经过线性时不变系统h(n)处理后的信号是 其频率与输入x(n)的相同，相位与x(n)相差argH()。,(8.9),(8.10),8.1.2 系统的延时 系统处理信号总是需要时间的,俗称延时。数学上将信号x(n)经过系统延时后得到的信号y(n)写成 这种延时的
5、信号y(n)与原来的信号x(n)的变化规律相同，不存在失真。 假设线性时不变系统的|H()|=r为常数，输入信号x(n)=Aej(n+)为典型正弦波，根据式(8.10)，该系统的输出信号 由式(8.12)可见，y(n)与x(n)的幅度比例r不随时序n变化，而y(n)与x(n)的相位存在时序差别/。这个差别,(8.11),(8.12),就是系统对频率为的输入正弦波的延时。 在|H()|为常数的情况下，系统的相位与输入正弦波的频率有关，同理，系统的延时也与输入正弦波的频率有关。下面分三种情况来看相位。 （1）如果系统函数的相位与角频率成正比，即 这是一条过原点的直线，并且系统的|H()|=r，r是
6、常数，则这种系统对于典型正弦波(8.9)的输出将是 从式(8.14)看，该系统对任何输入频率的延时都是相同的，延时量=-a，a是相频特性argH()的斜率。这种相位与频率成正比的系统，对于由许多频率分量组成的输入信号来说，其输出不会产生失真。,(8.13),(8.14),（2）如果系统函数的相位是角频率的普通直线方程，不一定是过原点的直线，即 系统的|H()|=r，r是常数，则典型正弦波(8.9)经过这种系统后将变为 由于延时项=-(a+b/)与角频率有关，所以，普通直线相位系统的输出y(n)对不同频率的输入将产生不同的延时。根据式(3.144)或(8.11)看，这种系统对于输入信号会产生失真
7、，不过这只是表面现象。 因为，在实际通信系统中，我们使用的只是一个频道，所以，只要保证有用信号在通信频道内的信号成分延时量相同，通信就不会失真。,(8.15),(8.16),下面以调幅波为例，说明普通直线相位系统对无线电信号所产生的影响。 为了直观，现在把典型的正弦波式(8.9)用实数形式表示， 将x(n)输入直线相位和常数幅度的系统，该系统的输出也用实数形式表示，即 考虑给这种系统的输入是一个简单的抑制载波的双边带调幅波，即,(8.17),(8.18),(8.19),根据三角函数和差积的关系，将x(n)变为两个分量， 再根据线性系统的叠加性质和式(8.18)，得到该系统的输出 对比输出信号式
8、(8.20)和输入信号式(8.19)，可以看到直线相位系统对这种窄带信号x(n)所产生的两种影响：（1）滞后频率是c的载波cos(cn)；（2）滞后调制在载波上的频率是s的信号cos(sn)，但这种滞后没有使被传输信号cos(sn)发生波形失真。,(8.19),(8.20),42节,（3）如果系统函数的相位是角频率的非线性方程，写为 则典型正弦波式(8.9)经过这种系统后将变为 根据延时的定义和式(8.22)，把/写为 叫做相位延时。非线性相位系统的相位延时与频率有关。,(8.21),(8.22),(8.23),对于调幅波来说，若系统对它的通信频段范围L, H很窄，则系统的相位在这个范围可近似
9、为一段直线方程，即 式中0=(L+H)/2，其相位曲线如图8.2所示。 该直线的斜率a近似等于该系统相位在=LH的导数。根据式(8.20)的结论，当调幅波经过该系统后，其调制信号将滞后一段时间，即,(8.24),图8.2,这个概念叫群时延。群时延的物理意义是：一簇频率相近的正弦波一起延时相同的时间。 这个分析说明一个问题：非线性相位系统会对信号产生失真；但是，如果在有用信号的频段里，系统的幅度|H()|近似不变，系统的相位()近似为直线，或者说系统的群延时近似不变，那么，被传输的信号就能近似不失真。,(8.25),8.2 有限脉冲响应滤波器的频谱 有限脉冲响应滤波器能够获得线性相位或直线相位。
10、线性相位系统的好处是它不会改变有用信号的波形。 8.2.1 有限脉冲响应滤波器的频谱表示法 一般线性相位也叫做直线相位，线性相位系统的相频特性是 为了方便设计有限脉冲响应滤波器，这里采用另一种表示频谱的方法： 这种表示法的A()是实数，叫做幅度函数。,(8.28),(8.29),实数的幅度函数可以方便我们分析和设计有限脉冲响应滤波器。 常用的线性相位选频滤波器有低通、带通、高通等滤波器，它们的频谱幅度在有用信号的频段内为常数或者为1，在没用信号的频段内为0。在设计这种分段常数幅度的选频滤波器时，只要能保证在有用频段的系统相位是线性的，一般来说，它们选出的有用信号就不会失真。 如何让有限脉冲响应
11、滤波器成为线性相位的？简单的方法是，让单位脉冲响应满足某种对称性。,8.2.2 实现线性相位的方法 线性相位的有限脉冲响应滤波器有两种：一种是相位直线过零点的，另一种是相位直线不过零点的。 （1）相位直线过零点的滤波器 如果让有限脉冲响应系统的单位脉冲响应h(n)满足偶对称条件，即 那么，该系统的相位函数将是一条过零点的直线，即 这种线性相位称为第一类线性相位，它的群延时a等于该系统脉冲响应的对称点。,(8.30),(8.31),让我们从离散时间的傅里叶变换来看这个问题。由于因果系统的频谱为 所以，根据有限脉冲响应系统的偶对称条件式(8.30)，公式(8.32)也可以写为 公式(8.32)和(
12、8.33)很相似，可以相加。,(8.32),(8.33),合并上面两个频谱公式，得 可以将该系统的频谱写成 这个偶对称脉冲响应的频谱说明：只要h(n)是实数偶对称的，,(8.34),(8.35),那么，它的幅度函数 也是实数的，并代表系统的幅度响应。这种系统的相位函数 是一条过零点的直线，是线性相位的。 （2）相位直线不过零点的滤波器 如果让有限脉冲响应系统的单位脉冲响应h(n)满足奇对称条件，即,(8.36),(8.37),那么，该系统的相位函数将是一条不过零点的直线，即 这种线性相位称为第二类线性相位，它的群延时a等于该系统脉冲响应的对称点。 有限脉冲响应滤波器的对称关系对设计线性相位滤波
13、器是很有用的，我们可以根据线性相位的要求来确定h(n)的对称关系，降低设计系统时推算脉冲响应h(n)的工作量。,(8.38),(8.39),43节,8.2.3 线性相位滤波器的幅度特性（可以不讲） 线性相位滤波器的幅度函数具有某种对称性，这些特性有助于我们设计有限脉冲响应滤波器。 对于因果系统的有限脉冲响应滤波器来说，它的对称位置比较特殊：由于有限脉冲响应滤波器h(n)的有效时序在n=0N-1，所以它的对称点不在n=0。 如果函数A()的对称中心位置是在=a的话，那么它的偶对称数学表达式写为 同理，A()关于=a的奇对称数学表达式写为 根据这种对称性，现在介绍线性相位滤波器的幅度函数特性。,(
14、8.45),(8.46),根据相位函数的直线是否过零点，线性相位分为第一类线性相位和第二类线性相位，两者的幅度函数A()各有特点，如表8.1所示。,表8.1,幅度函数的对称性证明，只要从幅度函数(8.36)和(8.43)出发，利用余弦函数和正弦函数的特点，事情就迎刃而解了。下面举两个例子。 （1）奇数长度的第一类线性相位系统 从第一类线性相位的幅度函数(8.36)出发，按照对称位置在=的写法，参照公式(8.45)和(8.46)，用2-替换公式(8.36)中的，得到,(8.47),将它与公式(8.45)对比就知道，第一类线性相位的幅度函数在奇数N时，对于=是偶对称的。 （2）偶数长度的第二类线性
15、相位系统 从第二类线性相位的幅度函数(8.43)出发，按照对称位置在=的写法，参照公式(8.45)和(8.46)，用2-替换公式(8.43)中的，就可以得到,(8.48),将它与公式(8.45)对比就可知道，第二类线性相位的幅度函数在偶数N时，是关于=的偶对称。 有限脉冲响应滤波器的长度N和幅度函数的对称性都很重要，如果能巧妙地运用表8.1所列的特性，就可以提高设计选频滤波器的效率，避免盲目设计。 例如设计高通滤波器时，如果取h(n)的长度为奇数，并满足偶对称条件(8.30)，就可以设计第一类线性相位的高通滤波器；但是，第一类线性相位滤波器的h(n)的长度不能取偶数，因为，从表8.1看，N为偶数时，其幅度函数A()在=的位置有一个零点，不满足高通滤波器的要求。 下面介绍FIR滤波器的设计。,8.3 在时域设计滤波器 从一个无限长序列中截取一段，就像裁剪一块布，当然，不同的“裁法”得到的序列，其频
