《数字信号处理第五章频率取样型FIR滤波器设计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信号处理第五章频率取样型FIR滤波器设计（126页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 频率取样型FIR滤波器设计,补充内容,频率采样型滤波器 FSF （Frequency Sampling Filter） 若h(n)是长为N的序列，则可对系统函数H(z)在单位圆上作N等分采样，这个采样值也就是h(n)离散付里叶变换值H(k)：,要指出的是：从频谱N点H(k)逆变换到N个系数h(n)，并采用非递归方式实行的FIR滤波器，与这里是不同概念。它的h(n)是卷积系数，都不等0，乘法数比较多。 FSF用递归反馈的结构形式实现FIR。系数直接是H(k)，对于窄带，大多数H(k)都为0，可以省运算量，从而提高滤波器的实时性能。,用频率采样点H(k)复数表达H(z) 的公式为：,两部分
2、级联构成,频谱样点作为系数 复数值。,Comb filter,N个谐振器,希望的频率采样点H(k)位置：,2fs,k0N1,当通带很窄，小于0.2fs的情况，大多数的样点H(k)=0，此时FSF结构滤波器的计算量很少。,分析：H(z)结构可由两部分级联而成: 梳状滤波器与复数字谐振器。单路情况：,复系数,N8,相位频响为: 900.5N,欧拉公式,梳状滤波器频响图：,2,Hc(z)=1ZN,2,一串零点在2的N等分点,幅度,梳状滤波器频响图：,Hc(z)=1ZN,一串零点在一周2的8等分点,幅度2,复谐振器：y(n) = V(n) + e jr y(n-1),取极点在/4的情况绘图,虚部sin
3、,r,FSF滤波器例子单路情况,32点cos部分,k2，H(2)=1,线性相位,FSF滤波器例子单路情况,k2，H(2)=1,线性相位,多路情况：3路FSF,k2，3，4,线性相位,注意相位: H(K)=|H(k)|exp(k) 条件：(K)是频率的线性相位，斜率为0.5(N1) 同时FSF只能有一个正的0.5(N1)个样点的时间延迟,N偶数时,N奇数时,N32时的3路FSF的特性图,注意负号！,此一阶网络在单位圆上有单极点： 该网络在 处的频响为 ，是个谐振频率为 的无耗谐振器。这些并联谐振器的极点正好各自抵消一个梳状滤波器的零点，从而使这个频率点的响应等于 最后，两部分级联就得到频率采样型
4、的总结构。,第二部分（IIR部分）是一组并联的复一阶网络：,位置都在于2k/N,FIR型的梳状滤波器部分,K个一阶IIR型的并联部分,延迟单元N个，复系数2N个,延迟单元N个,这一结构的最大特点：其系数H(k)直接就等于滤波器在 处的响应，因此，控制所设计的滤波器的响应幅度大小很直接。,它的两个主要缺点： 所有的系数 和 都是复数，计算复杂 所有谐振器的极点都在单位圆上，是临界稳定状态，考虑到系数量化的影响，有些极点实际上不能与梳状滤波器的零点相抵消，而使系统的稳定性变差。,为了克服上述两个不足，现作如下两方面的修正： （1） 将所有零点和极点内移到半径为 r 的圆上，（r 略小于 1），同时
5、频率采样点也移到该圆上，以解决系统的稳定性问题。这时：,相当于Z乘以一个小数因子r,（2）共轭根合并以避免复数运算，将一对复数的1阶子网络合并成一个实系数的2阶子网络。这些共轭根在圆周上是对称点。即：,同样，h(n)应是实数，其 DFT谱 也是圆周共轭对称的：,因此，可将第k及第N-k个谐振器合并为一个二阶网络 其中 ：,共轭偶对称，头尾对应合并. 0kN/2,谐振频率,实系数,这个二端网络Hk(z)是一个有限Q值的谐振器，谐振频率为 。 除了以上共轭极点外，还有实数极点需要安排。 分两种情况处理： 当 N为偶数时，有二个实数极点 ，对应H(0)和H(N/2)，它有二个一阶网络： 所以共有：,
6、头尾对折合并后 1kN/21,当 N为奇数时，只有一个实数极点 ，对应于H(0)，即有一个一阶网络：,2类的环节相加,所以全部共有：,都已经成为实的系数，解决了复系数问题。,稳定性和复系数问题改进后的频率采样型结构如下图：,这两个是实数单极点。,频率采样型FSF流图结构特点： 一优点： 1.选频性好，适于窄带滤波，其大部分频点H(k)为0，只有较少的二阶子网络数量，当通带范围小于0.2fs时，节省运算量明显； 2.不同的FIR滤波器，若长度相同，可通过改变系数的方法，共用同一个网络结构实现； 3. 复用性好。 二.缺点： 结构较复杂，使用的存贮器多。,说明： 频率采样型结构形式，能适合于任何
7、FIR 系统函数。 频率采样法设计得到的系统函数，虽然可以用频率采样型结构实现，但也可以用横截型、级联型或 FFT 实现。,（5）FIR滤波器的格型（Lattice）结构,该结构是1973年Gay和Markel提出的。模块化程度高，系数敏感度小，是很有用的一种结构。,一个M阶的FIR滤波器（全零点系统）H(z)可写为,现在：寻找一种结构，希望该结构很有规律，容易级联组合，并且它的系数可以由该滤波器的系数bM（i）求出来的？,如：H(z)=1+0.5 Z-11.3 Z-2+0.7 Z-3+0.4 Z-4 则：M4； b4(1) =0.5; b4(2) =1.3; b4(3) =0.7; b4(2
8、) =0.4,Z 1,X(n),p0(n),-k1,y(n),q0(n),p1(n),q1(n),p2(n),q2(n),pM1(n),pM(n),qM1(n),qM(n),Z 1,Z 1,-k1,-k2,-k2,-kM,-kM,显然：p0(n)=q0(n)=x(n)； pM(n)=y(n) 中间的： pm(n) = pm1(n)km qm1(n1) qm(n) = km pm1(n) qm1(n1)；m1M 类似FFT的蝶形运算。共有2M次乘法，参数与延迟单元各M个。没有反馈回路。若x(n)=(n),则y(0)=h(0)。上部通路无延迟，而通过延迟M个通路，则是y(n)=h(n)。即y(1)
9、y(M)。非常规则，M阶的FIR，只要级联M个基本单元就能实现。,现在给出格型系数km与滤波器系数bm ( i )的递推公式： bm ( m ) = km ； 下标m是滤波器阶； bm ( i ) = bm1 ( i ) km bm1 (m i ) ； 上标带括号是该阶时滤波器的系数号。 或者： km = bm ( m ) ； bm1 ( i ) = (bm ( i ) km bm1 (m i )/(1 km 2 )； 其中：i1m1；而m1M。 对于实际应用，是给出H(z)，然后分解一次HM-1(z)减少1阶，逐级分解最后得到许多个Hm(z)。每个子系统的最高阶次的系数负号，就是km。,解：
10、H(z)=B(z) =(1 0.9e j60 z1) (1 0.9ej 60 z1) (1 0.8 z1) =11.7 z1 1.53 z2 0.648 z3 有b 3 ( 1 )1.7； b 3 ( 2 )1.53； b 3 ( 3 )0.648； 得：k3 0.648 b 2 ( 1 )（b 3 ( 1 ) k3 b 3 ( 2 ) )/ (1 k3 2 )1.22 b 2 ( 2 )（b 3 ( 2 ) k3 b 3 ( 1 ) )/ (1 k3 2 )0.738 得：B2(z) =11.22 z1 0.738 z2 k2 =0.738 b 1 ( 1 )（b 2 ( 1 ) k2 b
11、2 ( 1 ) )/ (1 k2 2 )0.702 B1(z) =10.702 z1 ； 得： k1 =0.702,例：FIR的3个零点是：0.9e j60, 0.9e(j60) 及 0.8 求格型结构。,上面所求得的格型系数： k30.648； k2 =0.738； k1 =0.702,可以把以上求解k1 kM的步骤总结如下： 步骤1： kM = bM ( M ) ；即M阶时的最高阶次的那个系数 步骤2： 由递推式子，从kM和M阶时所有系数得到，M 1 阶时的滤波器系数 bM1 ( 1 ) bM1 ( M1 ) ；即得滤波器的系统函数BM1 (z)。 步骤3： 重复步骤2共M次，得kM ，k
12、M1 k1和各阶的系统函数BM1 (z) B2 (z)， B1 (z)。,（ 6）FFT快速算法型实现FIR滤波器,就是通过FFT变换到频率域进行，然后做相乘，再做逆变换，得到输出序列。,第6章 滤波器的实现问题,有限字长的二进制数表示数字系统的误差源 对系统中各系数的量化误差。 （受计算机中存贮器的字长影响） 对输入模拟信号的量化误差。 （受A/D的精度或位数的影响） 运算过程误差，如溢出，舍入及误差累积等（受计算机的精度影响）,6.2 量化与量化误差,6.2.1 二进制数的表示 （1）定点表示： 整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变，称为定点制； 定点制总是把数限制在1之间； 最高位为
13、符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在符号位后； 数的本身只有小数部分，称为“尾数”；,定点数作加减法时结果可能会超出1，称 “溢出” 乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。 为保证字长不变，乘法后，一般要对增加的尾数作截尾或舍入处理，带来误差。另外一种定点数的表示是总把数看成整数。 缺点： 动态范围小，有溢出。,定点数的表示分为三种（原码、反码、补码）： 设有一个（b+1）位码定点数： 012b，则 原码表示为 例：1.111-0.875 , 0.0100.25,反码表示：（正数同原码，负数则将原码中的尾数按位求反） 例： 正数表示：0.101 其反码为：1.010,补码表示（正数同原码，负数则将
14、原码中的尾数求反加1） 例：,正数表示：0.110 取反：1.001 的补码：1.010,补码加法运算规律： 正负数可直接相加，符号位同样参加运算， 如符号位发生进位，进位的 1 丢掉。,（2）浮点表示 尾数 指数 阶数 浮点制运算: 相加 对阶 相加 归一化,并作尾数处理 相乘 : 尾数相乘, 阶码相加, 再作截尾或舍入。,优点: 动态范围大,一般不溢出. 缺点: 相乘、相加，都要对尾数处理作量化处理。 一般，浮点数都用较长的字长，精度较高，所以我们讨论误差影响主要针对定点制。,6.2.2 定点制的量化误差,定点制中的乘法，运算完毕后会使字长增加，例如：原来是b位字长，运算后增长到b1位，需
15、对尾数作量化处理使b1位字长降低到b位。 量化处理方式： 截尾：保留b位，抛弃余下的尾数； 舍入：按最接近的值取b位码。 两种处理方式产生的误差不同，另外，码制不同，误差也不同。,1、截尾处理： 1）正数（三种码形式相同） 一个b1位的正数 为： 用T表示截尾处理，则：,截尾误差： 可见，ET0，i全为1时，ET有最大值： “量化宽度”或“量化阶” q=2-b ：代表b位字长可表示的最小数。 一般 2-b12-b, 因此正数的截尾误差为： -qET0,2）负数 负数的三种码表示方式不同，所以误差也不同。 原码（0=1）： 0ETq,补码（ ） 因 所以,反码（ ） ( 与原码的相同）,图 截尾量化处理的非线性特性,补码的截尾误差均是负值，原码、反码的截尾误差取决于数的正负，正数时为负，负数时为正。 2.舍入处理 通过b+1位上加1后作截尾处理实现。就是通常的四舍五入法，按最接近的数取量化，所以不论正数、负数，还是原码、补码、反码，误差总是在 之间，以 表示对x作舍入处理。舍入处理的误差比截尾处理的误差小，所以对信号进行量化
