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1、实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程一,第一章 集 合,本章主要介绍集合的基本概念，运算及其运算性质。通过本章的学习，要掌握集合的基本概念及运算规律，掌握可数集的基本概念及其性质，理解集合对等的概念，了解基数的概念，同时我们要知道一些常用的可数集与不可数集。,第一节 集 合,一、概念 二、表示法 三、简单术语,一、概 念,集合：在一定范围内的个体事物的全体， 当把它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中的每个事物叫做该集合元素。 注意：1 集合的对象是确定的。 2 集合的元素是互异的. 3 任一对象或事物x被当作某一给定集合A的元素时,x或者是A的元,或者不是A的元,二者必居其一
2、,而且只居其一. 例1：1，2，3，5，8五个自然数构成一 个集合。 例2：全体自然数构成一个集合。 例3：全体大个子不构成一个集合。,二、表示法,1、列举法： 2、描述法：,三、一些简单术语,如果A的元均为B的元,如果A与B有完全相同的元,结论:对任何集合,有,(1),(2),则,(3),注意 定理中的结论（2）是证明两个集合 相等的重要方法，以后我们经常用到。,则,第二节 集合的运算,一、概念 1 并集 2 交集 3 差集 4 上限集与下限集 二、运算规律,1 并集,（1）设A,B是两个集。由A中的元以及B中的元的全体所成的集称为 A,B两者的并，记成,例1,（2）设,=,例2 设,是一组
3、集，这里I是指标集，在I中取值，那么它们的并定义为,2 交 集,例1 A,（1） 设A,B是两个集，由同时属于A与B两者的那些元所成的集称为A与B的交，记成,（2）设 ，,例2,在I中取值，那么它们的交定义为,是一组集，这里I是指标集,3 差集 设A,B是两个集，由属于A而不属于B的那些元 所成的集称为A与B的差，记成A-B. 当B,例1 A,A时，差集A-B又称为B关于A 的补集，,记成,4 上限集与下限集,（1）上限集,设,=,易知：,，可它表示为,是任意一列集.由属于上述集列中,无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或上极限记为,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程二
4、,4 上限集与下限集,（1）上限集,设 是任意一列集.由属于上述集列中无限 多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上 限集或上极限记为 ，可它表示为,=,易知：,（2）下限集,设 是任意一列集，对于集列那种除有限个下标外，属于集列中每个集的元素全体所组成的集称为这一集列 的下限集或下极限，记为 ，可它表示为,=,（）极限集,如果 ，则称集列 收敛，并将这一集称为 的极限，记为,易知：,如果 为单调增加（减少）集列， 即 （ ），则 收敛，且有 = （ = ）。,二 运算规律,定理,（参见书上第页定理）,（交换律）,（结合律）,（分配律）,定理2 对于基本集X中的并集与交集的余集运算，有
5、 （1） = （2） = 证 设 ，则不属于任何 ，故属于每个C , 因此 ，可见 ，同理可证， 右边是左边的子集故得（1） 由（1）取余集得C( )=C( ) 即 = C( ） 再将 换成C ,即得（2）。 所证定理常称为笛摩根法则。它提供一种对偶方法，能将已证明的关于集的性质转移到它们的余集上去。,定理 对于集E与任意一组集 ， ，恒有分配律 E （ ） 证 任取 E （ ），则 且 ，于是知 且属于某个 ，对于这个 ，有 ，从而更有 ，这就证明了E （ ） 反之 ，设 ，则属于某个 ，从而 且 （对于这个 ），故更有 且 ，这就证明了 E （ ） 由所得两步结果便证明了定理中的等式。,第
6、三节 对等与基数,一 对等,定义1 设A,B是两个非空集，若依一定的法则f, 对每个x A, 在B中有唯一确定的元y与之对应，则称f是定义在A上而在B中取值的映射，记成 ，并将x与y的关系写成 。我们称A为f的定义域， 为f的值域。 设给定映射 ，而 ，称f为到上的映射；如果对每个 ，仅有唯一的 使 ，称f为 1-1的 设给定两映射 ， ，称映射 由关系式 ( ) 定义。 定义2 设A,B为两个非 空集，如有1-1的，到上 的 存在，使 ，则称A与B对等，记成 B,例1 自然数全体与正偶数全体对等。 证明 令 即可 例2 全体正奇数与全体正偶数对等 证明 令 即可 例3 （0，1）与全体实数对
7、等 证明 令 即可 注意 例1表明一个无限集可以和它的一个 真子集对等，这正是无限集的本质特性。,定理1 对任何集合A、B、C，均有 （1）（反射性） AA （2）（对称性） 若AB，则BA （3）（传递性） 若AB,BC,则AC 由此可知，当两个有限集互相对等时， 它们的元素个素必相同。因此，我们可以 用对等的概念对两个无限集的元的个数进 行比较,二 基 数,根据定理1，我们可把彼此对等的集合归做一类。这样任何集合属于一类。我们把两个彼此对等的集合称为具有相同的基数（亦称势、浓度），用 表示集合A的基数,定义3 设 A 、B是两个集合，如果A不和B 对等，但存在B的真子集 ，有A ,则称A比
8、B有较小的基数（B比A有较大的基数）并记为,定理 2（Bernstein定理） 设 A 、B是两个非空集合，如果 存在 使A T, B S, 则A B. 注 利用基数的说法是: 设 ， ，则,注意：这一定理提供了一个判定两个集合 对等的一个工具，以后我们经常用到。,第四节 可数集,本节我们主要介绍一类非常重要的无限集可数集。通过本节的学习，我们要掌握可数集的概念及其运算性质，同时我们还要知道一些常用的可数集。,一、可数集合的概念,定义1 如果集 A与自然数集对等，就称它为 可数集（可列集）。 显然，可数集的一切元可用自然数编号使之成 为无穷序列的形式:,结论：集合A是可数集合的充要条件是： A
9、可以排成一个无穷序列,例1 全体正偶数可数。 例2 全体整数可数。,二、可数集的性质,定理1 任何无限集必含有可数子集。 证,-,可取出可数子集,定理2 可数集的子集至多是可数的。 即或为有限集或为可数集。,定理3 设A为可数集，B 为有限集合或 可数集，则 可数,证明 （1）先设 由于可数集总可排成无穷序列，不妨设 或 则,或,（2） 一般情形 可由已知结论得出,定理4 可数个可数集的并集是可数集。 证明 参见书第17页定理4。,=,（按下标递增）,例3,全体有理数为可数集。 事实上，把非零的有理数a写成既约分数 的形式， 0, 把和n=|p|+q称为a的模。现规定0的模为1，很明显，模为n
10、的有理数的个数是有限的，于是把一切有理数按模递增编组，其模相同的编在同一组，最后再依次把这些有理数逐个编号，但重复者除去不计。这样，每一个有理数得到了一个确定的号码。因而建立了有理数与自然数之间的一一对应，这就证明了有理数集的可数性,定理 5 若A中每个元素由n个互相独立的记 号所决定,各记号跑遍一个可数集 A= ， 则A为可数集。 证明 用数学归纳法予以证明。,若n=1,则定理显然成立。今假设当 n=m时定理成立，由此证明当n=m+1时也成立。 设A= ，A中满足 的元素，记其全体为 , 则由假定 为一可数集而,故A可数,例4 平面上坐标为有理点的全体所成的集 为一可数集。 例5 整系数多项
11、式的全体所成的集为一 可数集。,A=(x,y)|x,y为有理数,因此全体n次多项式可数，故整系数多项式 可数,第五节 不可数集,一、概念 不是可数集的无限集合称为不可数集合 二、不可数集合,定理1 全体实数不可数。（见第20页） 用c表示连续基数，a表示可数集的基数 定理2 任意区间均具有连续基数。,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程三,第三节 对等与基数,一 对等,定义1 设A,B是两个非空集，若依一定的法则f, 对每个x A, 在B中有唯一确定的元y与之对应，则称f是定义在A上而在B中取值的映射，记成 ，并将x与y的关系写成 。我们称A为f的定义域， 为f的值域。 设给定映射 ，而 ，
12、称f为到上的映射；如果对每个 ，仅有唯一的 使 ，称f为 1-1的 设给定两映射 ， ，称映射 由关系式 ( ) 定义。 定义2 设A,B为两个非 空集，如有1-1的，到上 的 存在，使 ，则称A与B对等，记成 B,例1 自然数全体与正偶数全体对等。 证明 令 即可 例2 全体正奇数与全体正偶数对等 证明 令 即可 例3 （0，1）与全体实数对等 证明 令 即可 注意 例1表明一个无限集可以和它的一个 真子集对等，这正是无限集的本质特性。,定理1 对任何集合A、B、C，均有 （1）（反射性） AA （2）（对称性） 若AB，则BA （3）（传递性） 若AB,BC,则AC 由此可知，当两个有限集
13、互相对等时， 它们的元素个素必相同。因此，我们可以 用对等的概念对两个无限集的元的个数进 行比较,二 基 数,根据定理1，我们可把彼此对等的集合归做一类。这样任何集合属于一类。我们把两个彼此对等的集合称为具有相同的基数（亦称势、浓度），用 表示集合A的基数,定义3 设 A 、B是两个集合，如果A不和B 对等，但存在B的真子集 ，有A ,则称A比B有较小的基数（B比A有较大的基数）并记为,定理 2（Bernstein定理） 设 A 、B是两个非空集合，如果 存在 使A T, B S, 则A B. 注 利用基数的说法是: 设 ， ，则,注意：这一定理提供了一个判定两个集合 对等的一个工具，以后我们
14、经常用到。,第四节 可数集,本节我们主要介绍一类非常重要的无限集可数集。通过本节的学习，我们要掌握可数集的概念及其运算性质，同时我们还要知道一些常用的可数集。,一、可数集合的概念,定义1 如果集 A与自然数集对等，就称它为 可数集（可列集）。 显然，可数集的一切元可用自然数编号使之成 为无穷序列的形式:,结论：集合A是可数集合的充要条件是： A可以排成一个无穷序列,例1 全体正偶数可数。 例2 全体整数可数。,二、可数集的性质,定理1 任何无限集必含有可数子集。 证,-,可取出可数子集,定理2 可数集的子集至多是可数的。 即或为有限集或为可数集。,定理3 设A为可数集，B 为有限集合或 可数集
15、，则 可数,证明 （1）先设 由于可数集总可排成无穷序列，不妨设 或 则,或,（2） 一般情形 可由已知结论得出,定理4 可数个可数集的并集是可数集。 证明 参见书第17页定理4。,=,（按下标递增）,例3,全体有理数为可数集。 事实上，把非零的有理数a写成既约分数 的形式， 0, 把和n=|p|+q称为a的模。现规定0的模为1，很明显，模为n的有理数的个数是有限的，于是把一切有理数按模递增编组，其模相同的编在同一组，最后再依次把这些有理数逐个编号，但重复者除去不计。这样，每一个有理数得到了一个确定的号码。因而建立了有理数与自然数之间的一一对应，这就证明了有理数集的可数性,定理 5 若A中每个元素由n个互相独立的记 号所决定,各记号跑遍一个可数集 A= ， 则A为可数集。 证明 用数学归纳法予以证明。,若n=1,则定理显然成立。今假设当 n=m时定理成立
