数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFT2013章节

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1、第3章 离散傅里叶变换DFT及其应用 Discrete Fourier Transform,3.1 引言 离散傅里叶变换DFT不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT，它更便于用计算机处理，因为其输入与输出均为离散数字信号形式。 但是，在上个世纪六十年代以前，由于数字计算机的处理速度太低以及离散傅里叶变换的计算量太大，DFT长期得不到真正的应用，直到1965年快速离散傅里叶变换FFT算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换DFT的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。,3.2 离散傅里叶变换（DFT）,为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。 3

2、.2.1 离散傅里叶级数DFS（Discrete Fourier Series） 一个周期为N的周期序列，即 ， k 为任意整数，N 为周期,周期序列,N5的 x(n)=x(n+k5),n,周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数DFS来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。 周期为N的正弦序列（复指数序列）,其基频（k=1）成分为 K次谐波序列为：,但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处，周期为N，K是谐波序号。 即 因此,特殊的复指数e

3、(n)周期序列图,N8：x(n)=exp(j2/N)n，模1，相位是n函数 (n) 135180,n,-135,45,将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数， 利用正弦序列的周期性可求解系数 。 将上式两边乘以 ，并对一个周期求和。,上式中 部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有 或写为 结论： 1) 可求 N 次谐波的系数 2） 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数 3） 为周期序列，周期为N。,时域上周期序列的离散傅里叶级数FS在频域上仍是一个同周期序列。（都

4、是N点）,是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为： 习惯上：记,指数取负号是为了正变换式子为正指数，逆变换式子为负指数。它并没有多大本质关系。,变换因子W在Z平面上的位置，N8，角度45,DFS变换对公式表明：一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的。所以，周期序列与有限长序列有着本质的一致联系。,则DFS变换对,DFS 离散傅里叶级数变换 IDFS离散傅里叶级数反变换。,DFS的几个主要特性： 假设 都是周期为 N 的两个周期序列，各自的离散

5、傅里叶级数为： 1）线性 a,b为任意常数,2）序列移位 因为 及 都是以N为周期的函数，所以有,结论： 如果信号在序域发生移位，等效于变换域的相位附加 ，反过来，对偶的情况也一样。,由于 与 对称的特点，同样可证明,3）共轭对称性 对于复序列 其共轭序列 满足,证:,同理:,进一步可得,共轭偶对称分量,共轭奇对称分量,4）周期卷积 若 则 或,周 期 卷 积,证： 这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即 m=0N-1），称为周期卷积。 例： 、 ，周期为 N=7, 宽度分别为 4 和 3 ，求周期卷积。 结果：仍为周期序列，周期为 N 。,由于

6、DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式， 若 则,3.2 离散傅里叶变换（DFT）,我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此,它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列 x(n)，长为N点， 为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列 ，它由长度为 N 的有限长序列 x(n) 延拓而成，它们的关系：,周期序列的主值区间与主值序列： 对于周期序列 ，定义其第一个周期 n=0N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。 x(n)与 的关系可描述为： 数学表示： RN（n）为矩形序列。符号（n）N 是余数运算表达式，表示 n 对 N

7、求余数。如11对8的余数是3。就是序号3和11的函数取值一样（已知周期是8）。,周期延拓,例： 是周期为 N=8 的序列，求 n=11 和 n= -2 对 N的余数。除法后的余。 因此,频域上的主值区间与主值序列：,周期序列 的离散付氏级数 也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间 ，以及主值序列 X(k)。 数学表示： 去周期化 周期化,再看周期序列的离散傅里叶级数变换 （DFS）公式：,这两个公式的求和都只限于主值区间（0N-1），它们完全适用于主值序列 x(n) 与 X(k) ，因而我们可得到一个新的定义有限长序列离散傅里叶变换定义。,长度为N的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换

8、 X(k) 仍是一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为： x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ，同样已知 X(k) 也就唯一地确定 x(n) ，实际上 x(n) 与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。 对有限长序列的DFT，它隐含着进行周期性延拓。,DFT的矩阵方程表示,DFT特性：,以下讨论DFT的一些主要特性，这些特性都与周期序列的DFS有关。 假定x(n)与y(n)是长度为N的有限长序列，其各自的离散傅里叶变换分别为： X(k)=DFTx(n) Y(k)=DFTy(n) (1)

9、线性 DFTax(n)+by(n)=aX(k)+bY(k) ,a,b为任意常数 特别是：DFTx(n)+jy(n)=X(k)+jY(k),(2) 循环移位 有限长序列x(n)的循环移位定义为： f(n)=x(n+m)NRN(n) 含义：1) x(n+m)N 表示 x(n) 的周期延拓序列 的移位： 2) x(n+m)NRN(n) 表示对移位的周期序列 x(n+m)N 取主值序列, 所以f(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。f（n）实际上可看作序列 x（n）排列在一个N等分圆周上，并向左旋转 m 位。,循环移位,圆周移位,移位前,左移两位后(顺时针）,证：利用周期序列的移位特性： 实际上，利用

10、WN-mk的周期性，将f(n)=x(n+m)NRN(n)代入DFT定义式，同样很容易证明。,序列循环移位后f(n)的DFT为: F(k)=DFTf(n)= x(k),同样，对于频域有限长序列X(k)的循环移位，有如下反变换特性： IDFT X(k+l)NRN(k) = x（n）,（3）循环卷积 若 F（k）=X（k）Y（k） 则 或,证：这个卷积可看作是周期序列 卷积后再取其主值序列。将F（k）周期延拓，得： 则根据DFS的周期卷积公式： 因0mN-1时，x(m)N=x(m)，因此 经过简单的换元可证明：,这一卷积过程与周期卷积比较，过程是一样的，只是这里只取结果的主值序列，由于卷积过程只在主

11、值区间0mN-1内进行，所以 实际上就是 y（m）的圆周移位，称为“循环卷积”，习惯上常用符号“”表示循环卷积，以区别于线性卷积*。,1）由有限长序列 x(n)、y(n) 构造周期序列,循环卷积过程:,2）计算周期卷积,3）卷积 结果取主值,同样，若 时域 f(n)=x(n)y(n)，则频域有：,（4）有限长序列的线性卷积与循环卷积 （循环卷积的应用） 实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号 x(n)通过系统 h(n)，其输出就是线性卷积 y(n)=x(n)*h(n)。 而循环卷积计算比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术，若能利用循环卷积来求线性卷积

12、，会带来很大的方便。,有限长序列的线性卷积：,假定 x（n）为有限长序列，长度为N， y（n）为有限长序列，长度为M， 它们的线性卷积 f(n)=x(n)*y(n) 也应是有限长序列。 因 x（m）的非零区间： 0mN-1， y(n-m)的非零区间： 0n-mM-1， 这两个不等式相加，得： 0nN+M-2， 在这区间以外不是 x(m)=0，就是 y(n-m)=0，因而f(n)=0。因此，f(n) 是一个长度为N+M-1L的有限长序列。,有限长序列的线性卷积图解：,X（n）,h（n）,h（n）,y（n）,循环卷积（circular convolution）：,重新构造两个有限长序列 x(n)、

13、y(n)，长度均为 L MN1 maxN,M ，序列 x(n)只有前N个是非零值，后 L-N 个为补充的零值；序列 y(n) 只有前M个是非零值，后 L-M 个为补充的零值，成为L点，它可以选一个合适的大小。 为了分析 x(n)与y(n)的循环卷积，先看x(n)，y(n)的周期延拓：,其中f（n）就是线性卷积，也就是说，x（n）、y（n）周期延拓后的周期卷积，是x（n）、y（n）线性卷积的结果的周期延拓，周期为L。,它们的周期卷积序列为：,有限长序列的线性卷积图解：,X（n）,h（n）,h（n）,y（n）,现在我们来讨论上述 x(n)与h(n)的线性卷积，如果 x(n)、h(n)为有限长序列，

14、则在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真？,1、长度方面：N点 x(n)与M点h(n)的线性卷积*，结果是y(n)为NM1L点。而周期卷积或循环卷积二者的长度或周期是相同N点才能进行，结果也是N点。 2、幅度方面：线性卷积在L点以外，都是0，而周期卷积结果是以N点周期出现的值。循环卷积也一样。 3、适用方面：线性卷积是针对线性系统的。而循环卷积或周期卷积只是一种计算方法的定义。周期卷积用于真实的周期序列，循环卷积用于有限长序列（延拓周期序列）,根据前面的分析，f（n）具有 N+M-1 个非零序列值，因此，如果周期卷积的周期 LN+M-1，那么 f（n）周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重叠

15、，出现时域混淆现象。只有 LN+M-1 时，才不会产生交叠，这时 f（n）的周期延拓 中每一个周期L内，前N+M-1个序列值是f（n）的全部非零序列值，而剩下的 L （N+M-1）点的序列则是补充的零值。 循环卷积正是周期卷积取主值序列： 所以使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是： LN+M-1,比较线性卷积与循环卷积,例: 设有两个序列，x(n) 为N=4矩形序列，h(n) 为M=6矩形序列，观察其线性卷积和圆周卷积。 由线性卷积定义可直接验证，两者的线性卷积y(n)=x(n)*h(n)具有N+M-1=9个非零值,其结果见下图左半部分(c)，不同L下的圆周卷积结果在图的最后部分（d）。,两矩