《数字信号处理教学课件作者陈树新第5章节无限脉冲响应数字滤波器设计课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信号处理教学课件作者陈树新第5章节无限脉冲响应数字滤波器设计课件（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5章 IIR数字滤波器的理论与设计,5.1 数字滤波器的基本概念 5.2 模拟滤波器的设计 5.3 IIR数字滤波器的设计,2019/6/20,2,5.1 数字滤波器的基本概念,5.1.1 数字滤波器的分类 1、按处理方式分 经典数字滤波器的主要功能就是频率选择功能，利用它可以实现对输入信号按频率范围进行过滤，最大限度地保留有用信号，滤除无用信号。 现代滤波器可以按照随机信号和干扰内部的一些统计特性，从干扰中最佳地提取出信号，这方面的研究属于随机信号处理的内容。,2019/6/20,3,2、按滤波频率分 按照频率的选择不同可以分为低通、高通、带通和带阻等滤波器。,2019/6/20,4,3、
2、按网络结构分 数字滤波器还可以从实现的网络结构进行分类，把数字滤波器分成无限脉冲响应基本网络结构的滤波器，简称IIR滤波器；以及有限脉冲响应基本网络结构的滤波器，简称FIR滤波器。 IIR滤波器： FIR滤波器 ：,2019/6/20,5,5.1.2 数字滤波器的技术要求和设计步骤 数字滤波器设计实际上就是一种在给定技术要求前提下的“逼近”技术。因此，这里就存在两个需要考虑的问题：第一技术指标的确定，第二如何“逼近”给定的技术指标，也就是设计方法的选择。 1、数字滤波器的技术要求 假设数字滤波器的频谱函数H(ej)用下式表示 对于选频滤波器，技术要求由幅度频谱给出，相位频谱一般不做要求。,20
3、19/6/20,6,考虑到复杂性和成本，为了满足合理的滤波器指标，只可能在一定的误差容限内去逼近理想情况。这里所讲的误差容限主要包含以下几方面的内容： (1)通带内不一定完全水平； (2)阻带内不一定绝对衰减到零； (3)通带与阻带之间存在一定宽度的过渡带。,2019/6/20,7,滤波器设计时，用dB数来表示通带内和阻带内允许的衰减，通带内允许的最大衰减用符号p表示，阻带内允许的最小衰减用符号s表示 当幅度下降到 时，=c，计算此时的衰减数为 称c为3dB通带截止频率，p、c和s统称为边界频率，它们是滤波器设计的重要技术指标。,2019/6/20,8,2、数字滤波器的设计步骤 设计一个IIR
4、或FIR数字滤波器，实质上是寻找一组系数ai、bi或h(n)，则设计包括以下几个步骤： (1)根据实际任务需要，确定数字滤波器应达到的性能指标。 (2)用一个稳定的离散LTI因果系统的H(z)或h(n)去逼近要求达到的性能指标。 (3)用一个有限精度的运算去实现H(z)或h(n)。 (4)确定工程实现方法。 将讨论数字滤波器的设计的前两个步骤。,2019/6/20,9,5.2 模拟滤波器的设计,模拟滤波器模型包括巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器等等。这里仅介绍巴特沃斯滤波器的设计过程。 在
5、设计模拟滤波器时，总是首先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通转换成所希望类型的滤波器。,2019/6/20,10,5.2.1 模拟低通滤波器的设计指标 模拟低通滤波器的设计指标有p、p、s和s。 p和s可表示为 以上技术指标可以用图表示。在图中c就表示3dB截止频率。,2019/6/20,11,当已知模拟低通滤波器的设计指标后，就能够描绘出上面的波形图，进而得到 和Ha(s)，这样模拟低通滤波器的结构就能够确定了。 5.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计 巴特沃斯滤波器是根据幅度频谱在通频带内具有最平坦特性而定义的滤波器，在通带和阻带内的幅度频谱始终是频率的单调下降函数。,2019/6/20,
6、12,巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数可以用下式 表示 式中，N表示滤波器的阶数滤波器的幅度频谱随着滤波器阶次N的增加而变得越来越好。 巴特沃斯低通滤波器的主要特性 (1)对于所有N，|Ha(j0)|1； (2)对于所有N， (3) 是的单调下降函数； (4) 随着阶数N的增大而更接近于理想低通滤波器。,2019/6/20,13,将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数，就有 此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示 2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上，间隔为/N rad。例如，N3时，极点间隔为/3 rad，如图5.2-3所示。6个极点分别是 左半平面极点： 右半平面极点：,
7、2019/6/20,14,为了形成稳定的滤波器，2N个极点中只取S平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，右半平面的N个极点构成Ha(-s)，这样由左半平面极点组成的系统函数为,2019/6/20,15,这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化处理后的Ha(s)可以表示为 式中，s/c=j/c。令=/c，为无量纲的归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样经归一化处理后，巴特沃斯滤波器的系统函数为,2019/6/20,16,这样，当巴特沃斯滤波器的阶数N确定以后，就可以根据上式求出N个极点的位置，进一步确定归一化的巴特沃斯滤波器的系统函数Ha(p)，如果已知c，再进行去归一化处理，即将p=s
8、/c代入Ha(p)中，便可以得到Ha(s)。 对于Ha(p)，它的分母可以写成p的N阶多项式，用下式表示 关于B(p)的系数bk和极点位置均可以利用查表得到。,2019/6/20,17,从巴特沃斯低通滤波器的主要特性可知，随着阶次N的增大的性能将越来越好。下面就讨论利用p、p、s和s来确定阶次N的方法。 可以证明 其中 用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。 3dB截止频率c 的确定：,2019/6/20,18,总结以上讨论内容，可以得到低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据具体技术指标p、p、s和s求出滤波器的阶数N； (2)查表确定归一化系统函数Ha(p)； (3
9、)将Ha(p)去归一化。即p=s/c代入Ha(p)中，可以得到实际的滤波器系统函数Ha(s)。 注意：例5.2-1,2019/6/20,19,5.2.3 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 高通、带通、带阻滤波器的系统函数可以通过频率变换，由低通滤波器的系统函数求得，因此，不论设计哪一种滤波器，都可以将这种滤波器的技术指标转化成低通滤波器的技术指标，按照该技术指标先设计低通滤波器，再通过频率变换，将低通滤波器的系统函数转换成所需类型的滤波器系统函数。,2019/6/20,20,1、低通滤波器到高通滤波器的频率变换 图中p和s分别表示低通滤波器的归一化通带截止频率和阻带截止频率，p和s分别表示高通
10、滤波器的归一化通带下限频率和阻带上限频率。 可以推导出和的对应关系,2019/6/20,21,如果已知低通G(j)，高通滤波器的H(j)则用下式转换： 模拟高通滤波器的设计步骤如下： (1)确定高通滤波器的技术指标 ； (2)将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率； (3)根据转换得到的低通滤波器技术指标p、p、s和s，设计归一化低通滤波器G(p)； (4)将G(p)转换成归一化高通滤波器H(q)，将q=s/c代入H(q)中，得到模拟高通滤波器的H(s)。 注意：例5.2-2,2019/6/20,22,2、低通滤波器到带通滤波器的频率变换 令B=u-l称为通带带宽，归一化频率可以用下
11、式计算，即 和，以及p和q的关系,2019/6/20,23,为去归一化处理，令q=s/B得到 因此 模拟带通滤波器的设计步骤 (1)确定高通滤波器的技术指标 ，带通上限频率和带通下限频率u和l；下阻带上限频率和上阻带下限频率s1和s2；通带中心频率 ，通带宽度B=u-l。,2019/6/20,24,(2)确定归一化低通滤波器技术要求。 (3)设计归一化低通G(p)。 (4)由下式直接将G(p)转换成带通滤波器H(s)。,2019/6/20,25,3、低通滤波器到带阻滤波器的频率变换 l和u分别表示带通滤波器通频带归一化下通带截止频率和归一化上通带截止频率，对应实际频率的l和u；令B=u-l称为
12、阻带带宽。 相应归一化频率可以用下式计算，即,2019/6/20,26,带阻滤波器和低通滤波器的幅度频谱对应起来，便可得到和的对应关系。 执行去归一化处理 利用上式就是直接由归一化低通滤波器转换成带阻滤波器，具体变换公式为,2019/6/20,27,模拟带阻滤波器的设计步骤。 (1)确定模拟带阻滤波器的技术指标。以及边界频率对应的归一化边界频率 ； (2)确定归一化低通滤波器的技术要求； (3)设计归一化低通G(p)。 (4)直接将G(p)转换成带阻滤波器的H(s)。,2019/6/20,28,5.3 IIR数字滤波器的设计,利用模拟滤波器成熟的理论，设计IIR数字滤波器是一种人们广泛采用的设
13、计方法。转换后H(z)稳定且满足技术要求，转换关系提出了以下两个要求： (1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍应当是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应能够模仿模拟滤波器的频率响应，也就是使得S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上，相应的频率之间成线性关系。,2019/6/20,29,5.3.1 利用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 脉冲响应不变法就是使数字滤波器的单位序列响应h(n)等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，也就是说，脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它使得h(n)在采样点上等于ha(t)。即 从频域来分析，描述数字滤波器特性的系统函数H(z)变为,201
14、9/6/20,30,设已知模拟滤波器的系统函数为Ha(s)，冲激响应为ha(t)，则有 模拟滤波器系统函数Ha(s)和数字滤波器系统函数H(z)之间的关系，可以表示为 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示,2019/6/20,31,将Ha(s)进行逆拉普拉斯变换就得到模拟系统的单位冲激响应 对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到 对h(n)进行Z变换，就可以得到数字滤波器的系统函数，可表示为 Ha(s)的极点si映射到Z平面，其极点变为 ，系数Ai不变。,2019/6/20,32,以采样信号为桥梁，讨论S平面上任意点到Z
15、平面上的映射关系。 进行拉普拉斯变换，可得 进一步表示为,2019/6/20,33,拉普拉斯变换与相应的序列h(n)的Z变换之间的映射关系可用下式表示 通常要求所设计的系统是因果稳定 上式给出确定H(z)的具体过程：首先确定模拟滤波器系统函数Ha(s)，然后在S平面上沿虚轴（s=j），按照周期s=2/T对Ha(s)进行延拓，将S平面映射到Z平面，就得到了H(z)。,2019/6/20,34,根据S平面和Z平面的定义，有 关系 因此得到 需要注意 j轴上(-/T，/T)映射到单位圆上，也就是说，当模拟频率在 (-/T，/T)内变化时，对应于数字频率的变化范围是(-，)，T，即和之间成线性关系。,
16、2019/6/20,35,2019/6/20,36,如果ha(t)的频带宽度比/T大，则会在/T的奇数倍附近产生频率混叠，映射到Z平面，表现为在位置发生频率混叠。这就是脉冲响应不变法存在的问题，即频率混叠现象，,2019/6/20,37,不发生频率混叠的情况时，需要满足条件 可以得到 用脉冲响应不变法所设计的数字滤波器虽然会引起频率混叠现象，但它却能很好地保持模拟和数字滤波器之间的线性关系，即=T，因此，在不考虑频率混叠现象的情况下，用这种设计数字滤波器方法可以很好地重现原模拟滤波器的频率特性。,2019/6/20,38,5.3.2 利用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 为了克服频率混叠现象，提出了双线性变换法，其处理过程分为两步：第一步，将整个模拟频率范围从(-，)压缩到(-/T，/T)之间，这一步也被
