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1、,第6章 常微分方程数值解法,6.1 引 言,6.2 欧拉方法,6.3 龙格库塔方法,6.1 引 言,微分方程数值解一般可分为：常微分方程数值解和偏微分 方程数值解。自然界与工程技术中的许多现象，其数学表达式 可归结为常微分方程（组）的定解问题。一些偏微分方程问题 也可以转化为常微分方程问题来（近似）求解。Newton最早采 用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微 分方程。许多著名的数学家，如 Bernoulli（家族），Euler、 Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循历史传统，研究重要 的力学问题的数学模型，在这些问题中，许多是常微分方程的 求解。作为科学
2、史上的一段佳话，海王星的发现就是通过对常 微分方程的近似计算得到的。本章主要介绍常微分方程数值解 的若干方法。,1、常微分方程与解,为n阶常微分方程。,如果函数 在区间a,b内n阶可导，称方程,为方程满足定解条件的解。,一、初值问题的数值解法,解的图示,本教材重点讨论定解问题(初值问题）,定解条件（初始条件）,是否能够找到定解问题的解取决于,仅有极少数的方程可以通过“常数变易法”、“可分离变量法”等特殊方法求得初等函数形式的解，绝大部分方程至今无法理论求解。,2、数值解的思想,（1）将连续变量 离散为,（2）用代数的方法求出解函数 在 点的近似值,如果找不到解函数 数学界还关注： 解的存在性
3、解的唯一性 解的光滑性 解的振动性 解的周期性 解的稳定性 解的混沌性 ,求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1 xn= b 处的近似值 的方法称为微分方程的数值解法。,称节点间距 为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。,称为微分方程的数值解。,所谓数值解法：,称 在区域D上对 满足Lipschitz条件是指:,记,3、相关定义,(2) 一般构造方法： 离散点函数值集合 + 线性组合结构 近似公式,4、 迭代格式的构造,(1) 构造思想：将连续的微分方程及初值条件离散为线性方程组加以求解。由于离散化的出发点不同，产生出各种不同的数值方法。基本方法有：有限差分法（
4、数值微分）、有限体积法（数值积分）、有限元法（函数插值）等等。,(3) 如何保证迭代公式的稳定性与收敛性?,5、微分方程的数值解法需要解决的主要问题,(1) 如何将微分方程离散化，并建立求其数值解的迭代公式？,(2) 如何估计迭代公式的局部截断误差与整体误差？,二、初值问题解的存在唯一性, 考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,则上述IVP存在唯一解。,只要 在 上连续, 且关于 y 满足 Lipschitz 条件，,即存在与 无关的常数 L 使,对任意定义在 上的 都成立，,三、初值问题的离散化方法,离散化方法的基本特点是依照某一递推公式，,
5、如果计算 需用到前r步的值 , ,则称这类方法为r步方法。,6.2 Euler方法,第一步：连续变量离散化,第二步：用直线步进,1、Euler格式,18世纪最杰出的数学家之一，13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。 1727年-1741年（20岁-34岁）在彼得堡科学院从事研究工作，在分析学、数论、力学方面均有出色成就，并应俄国政府要求，解决了不少地图学、造船业等实际问题。 24岁晋升物理学教授。 1735年（28岁）右眼失明。,1741年 - 1766（34岁-59岁）任德国科学院物理数学所所长，任职25年。在行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学、微分方程、曲面微
6、分几何等研究领域均有开创性的工作。 1766年应沙皇礼聘重回彼得堡，在1771年（64岁）左眼失明。 Euler是数学史上最多产的数学家，平均以每年800页的速度写出创造性论文。他去世后，人们用35年整理出他的研究成果74卷。,在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。,定义2.2,若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该 算法有p 阶精度。,定义2.1,2、欧拉法的局部截断误差, 欧拉法的局部截断误差：,Ri 的主项 /* leading
7、term */,欧拉法具有 1 阶精度。,例1: 用欧拉公式求解初值问题,取步长 。,解: 应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为：,其中 。,计算结果列于下表：,可用来检验近似解的准确程度。,进行计算，数值解已达到了一定的精度。,这个初值问题的准确解为 ，,从上表最后一列，我们看到取步长,3、 欧拉公式的改进：, 隐式欧拉法 /* implicit Euler method */,向后差商近似导数,由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。,一般先用显式计算一个初
8、值，再迭代求解。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。, 梯形公式 /*trapezoid formula */, 显、隐式两种算法的平均,注：梯形公式的局部截断误差 ，,即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。,但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到,迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,中点欧拉公式 /* midpoint formula */,中心差商近似导数,假设 , 则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。,简单,精度低,稳定性最好,精度低, 计算量大,精度提高,计算量大,精度提高, 显式,多一个初值, 可能影响精度, 改进欧拉法 /* modifi
9、ed Eulers method */,Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出,注:此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */,可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它,是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程,简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,改进的欧拉法,在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合， 计算公式为,应用改进欧拉法,如果序列 收敛,它的极限便满足方程,改进欧拉法的截断误差,因此，改进欧拉法公式具有 2 阶精度,解：对此初值问题采用改进Euler公式， 其具体形式为,计算结果列于下表：,例1: 用欧拉公式求解初
10、值问题,改进的Euler法,Euler法,通过计算结果的比较可以看出，改进的Euler方法,的计算精度比Euler方法要高。,欧拉法误差概述,6.3 龙格库塔方法,对许多实际问题来说，欧拉公式与改进欧拉公式精度还不能满足要求，为此从另一个角度来分析这两个公式的特点，从而探索一条构造高精度方法的途径.,改进欧拉法,三阶龙格-库塔方法,三阶龙格-库塔方法是用三个值 k1, k2, k3 的线性组合,要使三阶龙格-库塔方法具有三阶精度，必须使其局部截断误差为 O(h4) 将 k1, k2, k3 代入 yn+1 的表达式中，在 (xn, yn) 处用二元泰勒公式展开，与 y(xn+1) 在 xn 处
11、的泰勒展开式比较,类似二阶龙格-库塔方法的推导过程，8 个待定系数 c1, c2, c3, a2, a3, b21, b31, b32 应满足：,8 个未知参数，6 个方程，有无穷多组解,三阶龙格库塔公式,四阶Runge-Kutta方法,附注：,二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,五阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,附注： 龙格-库塔法的主要运算在于计算 的值，即计算 的值。Butcher 于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：, 由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精,太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。,度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不,感谢您的听讲！,
