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1、第五节 不可数集,第一章 集合,1 不可数集的存在性(区间0,1是不可数集),证明：假设0,1是可数集,则 0,1 可以写成一个无穷 序列的形式：,数的进位制简介,十进制小数 相应于 对0,1十等分 二进制小数 相应于 对0,1二等分 三进制小数 相应于 对0,1三等分,说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如 0.2000000 0.1999999 （十进制小数）,2 连续基数集的性质（卡氏积）,（1）有限个、可数个连续基数的卡氏积仍为连续基数集,1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证 明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年， 他证明了一一对应关系是存在的，从而说明
2、Rn具 有连续基数 ，他当初写信给Dedekind说： “我看到了它，但我简直不能相信它”.,推论,连续基数集的性质（并集）,连续基数集的（有限个，可数个，连续基数个）并仍为连续基数集,3 无最大基数定理,从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.,此证为对角线方法，与(0,1) 是不可数集的证明比较。,尽管 Cantor 在1883年就证明了这个定理，但直到1899年 Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的 Cantor 的最大基数悖论.,因此Cantor在1899年给 Dedekind 的一封信中曾指出,人们 要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合所
3、组成的集合.,集合悖论,证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N 与0,1N对等；下证：,说明：相当于把 对应到一个三进制小数,4 可数基数与连续基数,Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。,注记： 从前面我们已经看到：,Cantor认为在 之间不存在别的基数， 即不存在这样的集合A,使得 但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。,连续统假设,在Zermelo-Frankel公理集合论体系下,参见：数学与哲学张景中，数理逻辑概貌莫绍揆,ZF公理集合论体系下的连续统假设,1940年Godel证明了连续统假设的相容性 （即不能证明它不真）；,1962年Stanford大学的P.J.Cohen证明了它的独立性 （即不能用其他公理证明它真）；,
