数值第二章插值法

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1、, 1引言 问题的提出 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间a, b上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) 或者给出函数表,y=f(x),y=p(x),第二章 插值法,插值法的基本原理 设函数y=f(x)定义在区间a, b上, 是 a, b上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值 为已知 ,即 若存在一个f(x)的近似函数 ,满足 则称 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点 xi为插值节点, 称(2.1)式为插值条件, 而误差函数 R(x)= 称为插值余项, 区间a, b称为插值 区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插,(2.1),插

2、值函数 在n+1个互异插值节点 (i=0,1,n ) 处与 相等,在其它点x就用 的值作为f(x) 的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换 句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用 的值作为f(x)的近似值,不仅希 望 能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单 。由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所以本章主要介绍代数插值。即求一个次数不超过n次的多项式。,满足,则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为代数插值法。其几何意义如下图所示,定理1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的,证明: 设n次多项式,是函数 在区间a, b上的

3、n+1个互异的节点 (i=0,1,2,n )上的插值多项式,则求插值多项式P(x) 的问题就归结为求它的系数 (i=0,1,2,n )。,由插值条件: (i=0,1,2,n),可得,这是一个关于待定参数 的n+1阶线性方 程组,其系数矩阵行列式为,称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xixj （当ij），故V0。根据解线性方程组的克莱姆 （Gramer）法则，方程组的解 存在惟一，从而P(x)被惟一确定。,惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示插值多项式,只要满足插值条件(2.1)其结果都是相互恒等的。,x0x1 xixi+1 xn-1 xn,y=f(x),y=p(

4、x),a,b,在插值区间a, b上用插值多项式p(x)近似代替f(x), 除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。,若记 R (x) = f(x) - p(x) 则 R(x) 就是用 p(x) 近似代替 f(x) 时的截断误差, 或称 插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。,插值多项式的误差,定理2 设f(x)在a, b有n+1阶导数， x0, x1, xn 为 a, b上n+1个互异的节点, p(x)为满足 p(xi) = f(xi) (i=1,2, , n) 的n 次插值多项式，那么对于任何x a, b有 插值余项,其中,ab 且依赖于x,证明 ( 略 ),拉格朗

5、日插值多项式 两个插值点可求出一次插值多项式,而三 个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1 个时,也就是通过n+1个不同的已知点 ,来构造一个次数为n的代数多项式P(x)。与推导抛物插值的基函数类似,先构造一个特殊n次多项式 的插值问题,使其在各节点 上满足,即,由条件 ( )知, 都是n次 的零点,故可设,其中 为待定常数。由条件 ,可求得,于是,代入上式,得,称 为关于基点 的n次插值基函数(i=0,1,n),以n+1个n次基本插值多项式 为基础,就能直接写出满足插值条件 的n次代数插值多项式。 事实上，由于每个插值基函数 都是n次值多项式,所以他们的线性组合,是次数不超过n次的

6、多项式 , 称形如（2.8）式的插 值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为,（2.8）,3 均差与牛顿插值多项式 拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便。但由于是用基函数构成的插值，这样要增加一个节点时，所有的基函数必须全部重新计算，不具备承袭性，还造成计算量的浪费。这就启发我们去构造一种具有承袭性的插值多项式来克服这个缺点，也就是说，每增加一个节点时，只需增加相应的一项即可。这就是牛顿插值多项式。,由线性代数知,任何一个不高于n次的多项式, 都可以表示成函数,的线性组合, 也就是说, 可以把满足插值条件 p(xi)=yi (i=0,1,n)的n次插值多项式, 写成如下形式,其中ak (k=0

7、,1,2,n)为待定系数,这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。我们把它记为Nn(x)即,（3.12）,可见，牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式p(x)的另一种表示形式, 与Lagrange多项式相比它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点, 且可以节省乘除法运算次数, 同时在Newton插值多项式中用到差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系.,它满足 其中ak (k=0,1,2,n)为待定系数，形如（3.12）的 插值多项式称为牛顿(Newton)插值多项式。,3.1差商及其性质,定义 函数y= f(x)在区间xi ,xi+1上的平均变化率,自变量之

8、差和因变量之差之比叫差商,称为f(x)关于xi , xi+1 的一阶差商,并记为fxi ,xi+1 二阶差商,m阶差商,fxi,xj,xk是指,fxi , xj , xk=,fxj , xk- fxi , xj ,xk- xi,一般的,可定义区间xi, xi+1 , xi+n上的n阶差商为,差商及其性质,差商表,例2.11 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各阶差商值 解: 计算得如下表,在n+1个节点处各阶差商的计算方法,差商及其性质,这个性质可用数学归纳法证明（用Lagrange插值多项式比较最高项系数来得到）,性质1 函数 f(x) 的 n 阶差商 f x0

9、, x1 , , xn 可由 函数值 f (x0), f (x1 ), , f (xn ) 的线性组 合表示, 且,差商及其性质,fx0 , x1=,fx1 , x0,f(x1)- f(x0),x1 x0,性质2 差商具有对称性,即在k阶差商中 任意交换两个节点 和 的次序,其值不变。 例如,性质3 若fx, x0, x1 , , xk 是 x 的 m 次多项式, 则 fx, x0, x1 , xk , xk+1是 x 的 m-1 次多项式 证：由差商定义,右端分子为 m 次多项式, 且当 x = xk+1 时, 分子为0 ,故分子含有因子 xk+1 x，与分母相消后，右端为m-1 次多项式。

10、,4.4 .1 差商及其性质,性质4 若 f(x)是n次多项式, 则f x, x0, x1 , , xn 恒为0 证： f (x)是n次多项式，则f x, x0 是 n-1次多 项式, f x, x0, x1 是 n-2 次多项式, 依次递推 ， f x, x0, x1 , , xn-1 是零次多项式，所以 fx,x0,x1 ,xn 0,性质5 k阶差商 和k阶导数之间有下 列关系 这个性质可直接用罗尔（Rolle）定理证明（或以下方法即余项方法）,牛顿(Newton)插值多项式,的系数 可根据插值条件推出, 即由 有,这是关于 的下三角方程组,可以求得,一般，用数学归纳法可证明,所以n次牛顿

11、(Newton)插值公式为,其余项,为牛顿插值多项式的误差。由插值多项式的存在惟一性定理知，满足同一组插值条件的拉格朗日插值多项式P(x)与牛顿插值多项式Nn(x)实际上是同一个多项式，仅是同一插值多项式的不同表达形式而已，因此得到牛顿插值多项式的误差与拉格朗日插值多项式的误差也完全相等。故有,可以看出，牛顿插值公式计算方便，增加一个插值点，只要多计算一项，而Nn(x)的各项系数恰好是各阶差商值，很有规律,fx0,x(x- x0),= f(x) - f(x0),f(x),+ fx0,x(x- x0),=f(x0),fx1,x0,x(x-x1),=fx0,x-fx1,x0,fx0,x,+ fx1

12、,x0,x(x-x1),= fx1,x0,f(x),+ (x- x0) fx1,x0,=f(x0),+ (x- x0) (x-x1) fx1,x0,x,牛顿插值公式(另一种推导方法）,f(x)=f(x0)+(x- x0)fx1,x0+(x- x0)(x-x1)fx1,x0,x,fx1,x0,x,= (x-x2) fx2,x1,x0,x,+fx2,x1,x0,f(x)=f(x0)+(x- x0)fx1,x0,+ (x- x0)(x-x1)fx2,x1,x0 + (x- x0)(x-x1)(x-x2) fx2,x1,x0,x,Nn(x),Rn(x),如当n=1时， f(x) = f(x0) + (

13、x- x0)fx1,x0 + (x- x0)(x-x1) fx1,x0,x Nn(x)= f(x0) + (x- x0)fx1,x0,其中Nn(x)称为牛顿插值多项式 Rn(x)称为牛顿插值余项,4.4.2 牛顿插值公式,N2(7)=1+(7-1)*0.33333+ (7-1)*(7-4)*(-0.01667)= 2.69992,+ (x- x0) (x-x1) fx1,x0,x2,+ (x- x0) fx1,x0,=f(x0),N(x),例 2.12 已知 x = 1, 4, 9 的平方根值，求 解：,牛顿插值余项,由,建起了差商和导数的关系,用导数代替牛顿插值多项式中的差商，有,差商和导数

14、的关系也可用罗尔定理证出，余项,R(x) =f(x)- P(x),R(xi) =f(xi)- P(xi)=0 i=0,1, ,n,Rn(n)(x) =f (n)(x)- Pn(n)(x),=f (n)(x)- f(x0)+(x-x0) fx0, x1,+(x-x0)(x-x1) fx0, x1 , x2,+(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)fx0,x1,xn(n),=f (n)(x)- n! fx0,x1,xn,Rn(xi)=0 (i=0,1,n),Rn(i)=0 (i=0,1,n-1),Rn(n)()=0 (x0,x1,xn),Rn(n)()=0=f (n)()- n! fx0,x1,xn,即R(x)在x0, xn有n+1个零点，根据罗尔定理R(n)(x)在 x0, xn有1个零点，设为，即有 Rn(n)()=0,增加新节点x，并且f(x)为(n+1)阶可导时，有,(x0,x1,xn),(x0,x1,xn,x),|f(x)(n+1)|Mn+1,4.4 .1 差商及其性质,例2.13 已知 x=0, 2, 3, 5 对应的函数值为 y=1, 3, 2, 5 , 作三次Newton插值多项式。 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 2 3 1 3 2