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1、第四章 数字滤波器的原理和设计方法,Theory and Design Method of Digital Filter,4.5 IIR数字滤波器的频率变换,前面的一些例子已经说明了如何应用冲激不变法和双线性变换法，根据具有选频特性的低通模拟系统函数来设计无限冲激响应数字滤波器。下图画出了四种常见的选频滤波器的理想频率响应，(a)、(b)、(c)和(d)分别表示低通、高通、带通和带阻滤波器的理想频率响应。,设计这样一些选频滤波器的传统方法有两种。,方法1： 首先设计一个模拟原型低通滤波器，然后通过频率变换把它变换成所需要的模拟高通、带通或带阻滤波器，最后再使用冲激不变法或双线性变换法变换成相应
2、的数字高通、带通和带阻滤波器。,方法2： 先设计了一个模拟原型低通滤波器，然后采用冲激响应不变法或双线性变换法将它转换成数字原型低通滤波器，最后通过频率变换把数字原型低通滤波器变换成所需要的数字高通、带通或带阻滤波器。,方法1的缺点是，由于产生混叠失真，因此不能用冲激不变法来变换成高通或带阻滤波器。 因此本节只讨论方法2。在方法2中，从模拟低通滤波器到数字低通滤波器的转换，前面已经讨论过了，因此下面只讨论数字低通滤波器到数字高通、带通和带阻滤波器的转换问题。,我们曾经用双线性变换将模拟系统函数变换成数字系统函数，对于低通、高通、带通和带阻型选频滤波器来说，也可以利用一种和双线性变换非常相象的有
3、理变换从低通数字滤波器变换出来。,设Hl(v)是数字原型低通滤波器的系统函数，Hd(z)是所要求的滤波器的系统函数。数字域的频率变换，就是要找出一个变量代换的公式,，使得所要求的系统函数,这里用v-1是因为系统函数的标准形式,一般写成z-1的形式，换到v平面即是v-1。,频率变换中的变量代换公式必须满足下列条件：,(1)F(z-1)必须是z-1的有理函数； (2)v平面的单位圆内部映射到z平面的单位圆内部。,从这些条件出发，我们可推导出频率变换的实用公式。,设v平面单位圆是v=ej，z平面单位圆是z=ej，则,对比等式两边，有,如果把变量代换的有理函数F(z-1)看成是一个系统函数，那么该系统
4、的幅频特性曲线在任何处恒为1，这样的函数就是全通函数。任何全通函数都可表示为,其中k是F(z-1)的极点。为了满足稳定性的要求，必须有|k|1。这样，通过选择适当的N值和k值，可以得出各种各样的映射。,1)低通低通的z平面变换,已知数字低通原型H(v)的截止频率是p，如果要把它变成截止频率为p的另一个低通H(z)。频率点的对应关系为：,v平面 z平面 =0 =0 = = =p =p,当由0时，由0，变化量为1个，所以F(z-1)是一阶全通，具有下列形式：,将 代入上式得：,以 代入，解出，得到,2)低通高通的z平面变换,3)低通带通的z平面变换,4)低通带阻的z平面变换,4.6 FIR数字滤波
5、器的设计方法,IIR数字滤波器的优点是可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。但是它也有明显的缺点，就是相位的非线性，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正。 在图象处理以及数据传输中，都要求信道具有线性相位特性。而有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器就可以做成具有严格的线性相位，而同时可以具有任意的幅度特性。此外，FIR滤波器的单位抽样响应是有限长的，极点都位于原点，因而滤波器一定是稳定的。再有，只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都能变成因果的有限长序列，因而总能用因果系统来实现。最后，FIR滤波器由于单位冲激响应是有限长的，因而可以用快速傅里叶
6、变换(FFT)算法来实现过滤信号，这可大大提高运算效率。 IIR滤波器设计中的各种变换法，对FIR滤波器设计是不适用的，这是因为那里是利用有理分式的系统函数，而FIR滤波器的系统函数只是z-1的多项式。,FIR滤波器的主要缺点是，必须用很长冲激响应的FIR滤波器才能很好地逼近锐截止滤波器，这意味着需要很大的运算量。 另一个缺点是，线性相位FIR滤波器的时延不一定总是样本间隔的整数倍，在某些信号处理应用中，这种非整数时延会带来一些不希望有的问题。 从以上讨论看出，我们最感兴趣的是具有线性相位的FIR滤波器。对非线性相位的FIR滤波器，一般可以用IIR滤波器来代替，因而这里不去讨论它。 FIR数字
7、滤波器的设计方法与IIR数字滤波器的设计方法很不一样，它不能利用模拟滤波器的设计方法。 FIR数字滤波器的设计方法主要有窗函数法、频率取样法和等波纹逼近法等3种，本章主要介绍窗函数法，也简要地介绍频率取样法。,4.6.1 窗函数法,这种方法也称为傅里叶级数法。,设计方法：,一般是先给定所要求的理想的滤波器频率响应Hd(ej)，要求设计一个FIR滤波器频率响应 来逼近 Hd(ej)。但是设计是在时域进行的，因而先由Hd(ej)的傅里叶反变换导出hd(n)。,由于理想滤波器的频率响应Hd(ej)具有矩形频率特性，故hd(n)一定是无限长的序列，且是非因果的，而我们要设计的是FIR滤波器，其h(n)
8、必然是有限长的，所以要用有限长的h(n)来逼近无限长的hd(n)，最有效的方法是截断hd(n)，或者说用一个有限长度的窗口函数序列(n)来截取hd(n)，因而窗口函数序列的形状及长度的选择就很关键。,我们以一个截止频率为c的线性相位的理想矩形幅度特性的低通滤波器为例来加以讨论，设时延为，即,对应的冲激响应为：,显然，hd(n)是以为中心的无限长非因果序列，如右图(a)所示。,现在需要寻找一个有限长序列h(n)来逼近hd(n)，h(n)应满足FIR滤波器的基本条件，即它是偶对称或奇对称的，以满足线性相位的要求，它还应当是因果的。这样，有,和,可以把h(n)看作是hd(n)与一矩形序列R(n)(如
9、上图b所示)相乘的结果，即,其中,相乘的结果h(n)如上图c所示。R(n)称为矩形窗函数。窗函数不一定是矩形窗函数，也可以是其它窗函数，因此一般将h(n)表示成,根据傅里叶变换的卷积性质，h(n)的频谱函数可表示为,(4.79),即FIR数字滤波器的频谱函数是理想低通滤波器的频谱函数与窗函数频谱的卷积。采用不同的窗函数，对应的H(ej)有不同的形状。,矩形窗R(n)的频谱为,其中,矩形窗R(n)的频谱的图形如下图所示。,从-2/N到-2/N之间的WR()称为窗函数的主瓣，主瓣两侧呈衰减振荡的部分称为旁瓣。,理想低通滤波器的频率响应可表示为：,其幅度响应Hd()为,将Hd(ej)和WR(ej)分
10、别代入4.79得到,因此FIR数字滤波器的幅度响应为,(4.81),上式表明，由理想低通滤波器的冲激响应加窗得到的FIR滤波器，它的幅度响应等于理想低通滤波器的幅度响应与窗函数频谱的幅度响应的周期卷积，如下图所示。,只要看几个特殊的频率点，就可以看出H()的一般情况。特别要注意卷积过程给H()造成的起伏现象。,1、先来看=0时零频率处的响应值H(0)。根据式(4.81)，H(0)等于图4.49中(a)与(b)两个函数乘积的积分，即WR()在=-c到=+c这一段的面积，当c2/N时(这个条件一般能满足)，H(0)实际上就很近似于WR()全部从-到+的面积。 2、再看=c时的卷积值，这时Hd()正
11、好与WR(-)的一半重叠，如图4.49(d)所示，因此卷积值正好是零频响应H(0)的一半，即H(c)/H(0)0.5，如图4.49 (f)所示。 3、当在通带截止频率c以内，即=c-2/N时，WR(-)的整个主瓣都在Hd() 的通带内，如图4.49(d)所示，因此卷积结果有最大值，这时频率响应出现正肩峰。 4、对于=c-2/N、WR(-)的主瓣全部在Hd()的通带外，如图4.49(e)所示，在通带内旁瓣负的面积大于正的面积，因此卷积值达到最大负值，H()在这里出现负肩峰。,5、当进一步增大时，卷积值也将随着WR(-)的旁瓣在通带内的面积的变化而变化，这样就造成H()以零值为中心的上下起伏波动。
12、,6、当由-2/N向通带内减小时，WR(-)的右旁瓣进入Hd()的通带，这时，卷积值H()在WR(-)的主瓣和左右旁瓣的共同作用下将以H(0)为中心上下波动。,从以上分析及图4.49(f)可以看出，理想低通滤波器经加窗处理后，主要受到加窗处理两方面的影响。,第一，使滤波器的理想频率特性在不连续点处边沿加宽，出现过渡带，这主要是由窗函数频谱的主瓣引起的，过渡带的宽度取决于窗函数主瓣的宽度，矩形窗对应的过渡带的宽度=4/N。一般来说， 过渡带的宽度与N成反比；,第二，滤波器在通带和阻带内产生波纹，这种现象称为吉布斯(Gibbs)现象，主要是由窗函数的频谱的旁瓣造成的。,根据以上讨论，可知在一般情况
13、下，对窗函数的要求有二： 旁瓣高度尽可能小，即尽可能让能量集中于主瓣，以减少通带和阻带中的波纹； 主瓣宽度尽量窄，以获得尽可能陡的过渡带。 但是，这两个要求是互相矛盾的，不可能同时满足。具体来说，降低旁瓣高度必然会使主瓣变宽；反之，压窄主瓣宽度，不可避免地会使旁瓣变高。往往是增加主瓣宽度以换取对旁瓣的抑制。,以矩形窗为例，它的频谱为,可见，改变N，只能改变窗谱的主瓣宽度、改变坐标的比例以及改变WR()的绝对值大小，但是不能改变主瓣与旁瓣的相对比例(当然N太小时，会影响旁瓣的相对值)，这个相对比例是由sinx/x决定的，或者说只由窗函数的形状来决定的。因而，当截取长度N增加时，只会减小过渡带宽(
14、4/N)，而不会改变肩峰的相对值。 用矩形窗截取无限长序列hd(n)来得到有限长序列h(n)，由于突然将h(n)截短，因而破坏了序列hd(n)的均匀收敛性，这意味着人为地强迫hd(n)收敛。不均匀收敛性在频谱中是以吉布斯现象反映出来的。 矩形窗所形成的FIR滤波器的频率响应的波纹幅度很大，最大肩峰值达8.95，如图4.49(f)所示。,为了减小波纹幅度，一方面可以加大窗的长度N，但效果并不显著；另一方面可采用不同的窗函数来改善不均匀收敛性。图4.50所示的是几种常用的窗函数：,它们的定义式和频谱函数分述如下：,1、矩形窗,2、Bartlett窗（三角形窗）,3、汉宁(Hanning)窗(升余弦
15、窗),或,利用傅里叶变换的调制特性，即利用,和,考虑到RN(n)的傅里叶变换为,则得,当N1时，N-1N，得到窗谱的幅度函数为,因此可以认为汉宁窗的频谱由图4.51所示的3部分组成，3部分频谱相加的结果使旁瓣大大抵消，而使能量有效地集中在主瓣内，代价是使主瓣的宽度加大了一倍，即为8/N。,4、哈明(Hamming)窗，又称改进的升余弦窗,把升余弦窗加以改进，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式为：,其频率响应的幅度函数为,结果可将99.963的能量集中在窗谱的主瓣内，与汉宁窗相比，主瓣宽度相同为8/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%。,5、布莱克曼(Blackman)窗,为了更进一步抑制
16、旁瓣，可再加上余弦的二次谐波分量，得到Blackman窗：,其频谱的幅度函数为,此时主瓣宽度为矩形窗谱主瓣宽度的三倍，即为12/N。,图4.52描绘的是N=51时上列5种窗函数的频谱函数图形，图中以相对衰减A=201g|W()/W(0)| dB为纵坐标。 从图中可以看出，这5种窗函数的旁瓣衰减依次增大，主瓣宽度依次加宽。,图4.53所示的是用这5种窗函数设计的低通FIR数字滤波器的频率响应特性。窗函数的长度N51，理想低通滤波器的截止频c=/2。 从图中可看出，用矩形窗设计的滤波器的过渡带最窄，但阻带衰减指标最差，仅有-21dB左右。而用布莱克曼窗设计的阻带衰减指标最好，可达-74dB，但过渡带最宽，约为矩形窗的3倍。,6、凯泽(Kaiser)窗,这
