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1、第21讲 Fubini定理,目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握Fubini定理并会运用，了解Fubini定理的证明。 重点与难点：Fubini定理及其证明。,第21讲 Fubini定理,基本内容：,同极限与积分交换顺序的问题一样，在数学分析中，多元函数的重积分与累次积分何时相等，以及累次积分的交换顺序等问题的讨论中也要对被积函数加上较强的条件，本节将会看到，Lebesgue积分中对此类问题所要求的条件也比Riemann积分弱得多。,第21讲 Fubini定理,一可测矩形的截口 问题1：回忆微积分中如何化重积分 为累次积分？什么样的积分 区域可以使重积分化成累次 积分？,第21讲 Fubini定
2、理,问题2：在一般可测集上如果考虑重 积分化成累次积分问题，应 首先考虑什么问题？,第21讲 Fubini定理,本质上讲 作为乘积空间 中的集合是比较简单的，它有点象平面内的矩形。这样的集合有一个特点，对任意 是 在 中的一个平移，它们到 中的点 x，对应的集合 对不同的 x 可能差别很大。,第21讲 Fubini定理,这就象平面内两条曲线 在区间 a,b 之间围成的图形，对任意 或 一般是 不一样的，所以对可测集 的可测性不是显而易见的。,第21讲 Fubini定理,为使问题的解决更方便些，我们采用略为抽象的形式来叙述。,记 分别为 及 中的Lebesgue可测集类，则它们都是 -域。定义
3、为包含所有的可测矩形的 的最小的 -域，则有,第21讲 Fubini定理,引理1： 。换言之， 中集均为 中的Lebesgue可测集。,证明：由于 是 域，且每个可测 矩形都在 中，故显然有,证毕。,第21讲 Fubini定理,引理2 中的任意Borel集在 中。,证明：注意到 中的每个长方体显然在 中，而开集可以表成可数个左开右 闭的长方体之并，因此，开集也在 中，由 是 域及Borel集的定义立知每个Borel集都在 中。证毕。,第21讲 Fubini定理,定理2 对任意 存在 使 且 。,证明：取 中的Borel集 ，使 ，取Borel集 ，使 ，则由引理2知 证毕。,第21讲 Fubi
4、ni定理,定义1 设,记,称 为 E 在 x0 处的 x-截口， 为 E 在 y0 处的 y-截口。,第21讲 Fubini定理,问题3：对Rn+m中任一可测集，其 截口是否均可测？为什么？,第21讲 Fubini定理,定理3 若 ，则对任意 ， ，都有 ， 。,证明：设 L 是所有 中满足 (任意 )， (任意 ) 集合 E 的全体。如果 ，则当 时， ，当 时， ，当 时， 。故 。,第21讲 Fubini定理,不难证明下列命题都是正确的： (i) 。 (ii) 若 ，则 ， ，因此 。 (iii) 若 且 ， 则 故 由 是 域知 。,第21讲 Fubini定理,以上三者意味着 L 是一
5、个 域且含所有的可测矩形，而 是含所有可测矩形的最小 域，故 ，但因 ，所以 。证毕。,第21讲 Fubini定理,应该看到，由于 与 中元可能相差一个零测集，所以我们不能由此断言，对任意 及任意 都是可测集，不过可以证明，对几乎所有 是 中的可测集，对几乎所有的 是 中的可测集，有兴趣的读者可以参看江泽坚、吴智泉合编实变函数论( 高教出版社，1998 ) 中有关章节。,第21讲 Fubini定理,二可测矩形生成的 类 问题4：如果定义乘积空间上的测度， 则至少可测矩形应该可测， 除此而外还有什么样的集合 在乘积测度意义下应是可测 的？它们构成什么样的集类？,三LnLm与 Ln+m的关系 问题
6、5：LnLm中的集合与 Ln+m中 的集合差别有多大？,第21讲 Fubini定理,第21讲 Fubini定理,四单调类 问题6：如果定义了一个可测集类， 按上面的讨论，可测矩形应 在其中，从而可测矩形的有 限不交并也应在其中，在这 些可测集类中，有没有一个 最小的？它是什么？,第21讲 Fubini定理,(1) 最小单调类 定义2 设 M 是一个集簇，具有下列 性质：若 分别是单调 递增和单调递减的两个集列， 则 ，称 M 为一个单调 类。,第21讲 Fubini定理,(2) LnLm 的最小性证明,定理4 LnLm 是含所有可测矩形的有限不交并的最小的单调类。,证明：设 M 是含所有可测矩
7、形有限不交并的最小单调类，则由于 显然是一个单调类，我们有 。往证 M 是 域，从而 ，进而得 。,第21讲 Fubini定理,设 ，则下式恒成立：,第21讲 Fubini定理,可见两个可测矩形的交仍是可测矩形， 它们的差是两个不相交的可测矩形之 并，记 是有限个不相交的可测 矩形之并。,由上面的证明不难看出，对任意 均在 R 中，又 ， 且 ，所以 ， 也有这说明 R 是一个环。,第21讲 Fubini定理,第21讲 Fubini定理,对于任意 ，定义 则 显然有下列性质：,第21讲 Fubini定理,(1),(2) 由于 M 是单调类，每一个 也是单调类，对固定的 ，由于 R 是环，所以 ，这就是说 是含 R 的单调类，由 M 的最小性知 。,第21讲 Fubini定理,现在固定 ，若 ，则由刚才的 证明知 ，据(1)，知 ， 因此 ，再次由 (1) 得 。,综上立知，若 ，则 ， ，且,第21讲 Fubini定理,(i) 由于 ，故 。 (ii) 由于对任意 (因为 )，所以若 ， 则 。 (iii) 若 ，令 ，则 Fk 是单调上升的集 列，而 M 是对有限并运算封闭的 单调类，故 。,第21讲 Fubini定理,因此 M 是含 R 的 域，由于 是含 R 的最小的 域，故 ，从而 。证毕。,作业：P168 21,
