《实变函数论课件6课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数论课件6课件（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6讲 直线上的点集,目的：掌握Cantor集的构造，熟悉直线上 开集与闭集的构造。 重点与难点：Cantor集的构造。,第6讲 直线上的点集,一自密集、疏朗集、完备集 问题1：回忆开集与闭集的定义，可否 通过集合与其导集的关系重新 定义开集与闭集？ 问题2：集合与其导集有哪些可能的关 系？,第6讲 直线上的点集,定义5（i）若 ，即 的每一点都是 自身的聚点，则称 是自密集； （ii）若 ，则称 是完备集合。 定义6 假设 是 中的一个集合，如果 不 包含任何邻域，则称 为无处稠密的。,第6讲 直线上的点集,问题3：能否在直线上找到既完备有是疏朗的 集合？,第6讲 直线上的点集,Cantor
2、集的构造: 将0，1均分为三段，删去中间的开区间 ，将剩下的两个区间 再次三等分，删去中间的两个区间即 。如此继续下去，最终剩下的点集记作G，称之为Cantor集，则G是一个完备集。,问题4：你认为Cantor集的势是多少？ *定理10 。 证明：回忆一下前面的 进位表示法以及Cantor集的构造立刻看到，这里用三进制小数表示(0,1)中的点，将会更方便于讨论。 我们先来看看，去掉的三等分区间中的点用三进制表示的话，有什么规律。显然，第一次删去的区间,第6讲 直线上的点集,内的点对应的三进制数第一位必然是1，进一步观察 不难发现，只要 点在某个删去的区间内，则 的三 进制表示中，必有某一位是1
3、。反之，如果 不是分 点，且在某位出现1，则在经过若干次删除手续后， 必然在删去的区间内，即 。因此，除了分 点外， 在 中当且仅当其三进制表示中不出现数1。 注意挖去的区间是可数的，故分点集 也可数，因此,第6讲 直线上的点集,因此 。如果在2定理9中令 ，则立得 。于是 。证毕。,第6讲 直线上的点集,第6讲 直线上的点集,二直线上开集、闭集的构造 问题5：除开区间外，你还能找出直线上 多少开集？,第6讲 直线上的点集,问题6：开集中每一点都是内点，因此直线上 任一开集中的每一点都有一个开邻域 包含在该开集中，这样的开邻域有多 少？其中有没有最大的一个？如何找 出这个最大的开邻域？,第6讲
4、 直线上的点集,*定理11 中任何非空的有界开集都是有限 个或可数个互不相交的开区间的并。,第6讲 直线上的点集,定理11的证明： 设 是有界开集，则存在 ，使得 。对任意 ，由 是开的，知存在开区间 ，使 。不难看到，包含 的 中开区间有无穷多个，记 ，,往证： (i) ，且 。 (ii) 对任意 ，或者 ， 或者 。 对任意 ，记 由 的定义知存在 ，使 ，,第6讲 直线上的点集,且 。于是 。 即 ，故 。如果 ，则存在 ，使 ，显然 ，这与 的定义矛盾。因此 。同理可证 。,第6讲 直线上的点集,(i)证完。 再证（ii），对任意 ，若 ， ，则或者 中至少有一个在 中；从而也在 中，
5、无论何种情形均与（i）矛盾。故（ii）也成立。,第6讲 直线上的点集,以上论证说明， 可以表示为一些互不相交的开区间之并。而这些区间的全体必定是至多可数的，这只要从每个区间中取出一个有理数，从而不同区间对应不同的有理数便可得到证明。证毕。,第6讲 直线上的点集,第6讲 直线上的点集,问题7：根据开集与闭集的互余关系，如何 构造直线上的闭集？,第6讲 直线上的点集,定理13 设 是非空的有界闭集，则 是由 一闭区间中去掉有限个或可数个互 不相交的开区间而成。,第6讲 直线上的点集,定理13的证明： 设 ，则由定理12知 ，于是 ，且 。由定理6的推论1知 是开集，由定理11，存在有限个或可数个互
6、不相交的开区间 ，使 ，从而 。 证毕。,第6讲 直线上的点集,问题8：直线上什么样的闭集是完备的？所有 的完备集都是这样的吗？,第6讲 直线上的点集,定理12 假设 是 中的有界闭集， 则 ；换言之， 中 既有最大数，也有最小数。 定理14 假设 是非空有界闭集，则 是完备 集当且仅当 是从一闭区间a,b中去掉 有限个或可数个彼此没有公共端点且与a,b 也无公共端点的开区间而成。,第6讲 直线上的点集,定理14的证明： 若 是完备集；则显然挖去的开区间彼此无公共端点，否则这个公共端将是 的孤立点，故必要性是显然的。往证充分性，只需证明任意 都是 的聚点。若不然，假设 是其孤立点，则存在 ，使 ，且 ，由 的构造知 只能是某些挖去的开区间的公共端点。证毕。,
