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1、,第五章 集合与关系,第一节 集合,集合中元素的计数,5.1 集合,一、集合的概念与表示,1.集合的概念 集合：“所要讨论的一类对象的整体”；或“可确定的可相互区别的事物汇集在一起所组成的整体” . 通常，用大写的英文字母A, B, C,表示集合；,例如，1. 二十六个英文字母可以看成是一个集合. 2. 所有的自然数看成是一个集合. 3. 长沙民政学院2009级的全体学生可看成是一个集合. 4. 这间教室中的所有座位可看成是一个集合.,5.1 集合,一、集合的概念与表示,集合的元素: 组成一个集合的那些对象称为这个集合的元素。通常，用小写的英文字母a, b, c,表示. 元素可以是单个的数字也
2、可以是字母，还可以是集合.,元素与集合的关系：属于 ； 不属于 . 若a是集合A中的元素记为aA，读作a属于A；若a不是集合A中的元素，则记为aA，读作a不属于A. 例如：A是正偶数集合，则2A，8A，36A；而 3A，9A，17A,集合元素具有的特点：确定性，互异性，无序性.,如：A=a,c,b ; B=a,b,c，D,5.1 集合,如：C=x|0x10，V= x|x是元音字母， = x|x=a2,a是自然数.,2.集合的表示法,列举法(列元素法) ；将集合中的元素一一列举，或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征，,描述法(谓词表示法) ；将集合元素的条件或性质用文字或符号在花括号内竖线后
3、面表示出来。,例如：V=a, e, i, o, u 或 B=1, 4, 9, 16, 25, 36.,一、集合的概念与表示,5.1 集合,b,cA bA dA dA dA,再如， 根据右图写出集合A,A= a, b,c, d, d ,指出集合与元素之间的关系,5.1 集合,【定义1】设A，B是两个集合，若中的每个元素都是的元素，则称是的子集，也称A被B包含（或B包含），记作 （或 ）. 若 ，且AB，则称是的真子集，也称A真包含于B, 记作A B ， 或 .,二、 集合的运算,1.集合间的关系,集合的包含关系也可表成：AB (x)(xAxB) 这表明，要证明AB，只需对任意元素x，有下式xAx
4、B 成立即可.,5.1 集合,例如：对于A= 1,2,3,4， 1 A, 2,3 A, 3 A. 可以用树形图表示这种关系.,2.集合的表示法,5.1 集合,【定义2】当两个集合A和B的元素完全一样，即A， B实际上是同一个集合时，则称集合A，B相等，记作A=B . 符号化表示为 ： A=B A B B A 例如，设A=x| x是偶数，且0x10， B=2,4,6,8， 则 A=B .,A=B可形式表为： A=B (x)(xAxB). 或者 A=B(x)(xAxB)(x)(xBxA). 证明集合A与B相等时，只需考察：对于任意元素x，应有 下式 xAxB 成立即可.,二、 集合的运算,5.1
5、集合,【定义3】约定，存在一个没有任何元素的集合，称为空集 ，记为，有时也用 来表示. 空集是任何集合的子集. 约定，所讨论的对象的全体称为全集，记作E或U . 我们所讨论的集合都是全集的子集 。全集是相对的.,二、 集合的运算,5.1 集合,只有一、二年级的学生才爱好体育运动,【例1】 请指明下列的对应关系 F:一年级大学生的集合 S：二年级大学生的集合 R：计算机系学生的集合 M：数学系学生的集合 T：选修离散数学的学生的集合 L：爱好文学学生的集合 P:爱好体育运动学生的集合,TM(RS),RS T,(MF)T=,MLP,P（FS）,S(MR)P,除去数学和计算机系二年级学生外都不选修离
6、散数学,所有计算机系二年级学生都选修离散数学,数学系一年级的学生都没有选修离散数学,数学系学生或爱好文学或爱好体育运动,5.1 集合,【定义4】以集合A的所有子集为元素构成的集合，称为A的幂集,记作P(A)。 符号化表示为 P(A)=x| x A. 例： 设A=a,b,c ， 则 P(A)=,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c.,【注意】一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，即是由这些子集所组成的集合族.,1. 若A为有穷集，|A|=n，则 |(A) | = Cn0 + Cn1 + + Cnn =2n 。 2. xP(A)当且仅当xA。 3. 设A、B是两个集合，AB当且仅当P(
7、A)P(B).,幂集的性质,5.1 集合,文氏图 用一个大的矩形表示全集，在矩形内画一些圆或其它的几何图形，来表示集合，有时也用一些点来表示集合中的特定元素。 例如：集合V=a,e,i,o,u ，用文氏图表示如下:,5.1 集合,并 A B = x | xA xB 交 A B = x | xA xB 相对差 AB = x | xA xB 对称差 A B = (AB)(BA) = (AB)(AB) 绝对补 A = EA,2.集合的基本运算,二、 集合的运算,5.1 集合,文氏图表示,5.1 集合,并和交运算可以推广到有穷个集合上，即 A1 A2 An = x | xA1xA2xAn A1A2 A
8、n = x | xA1xA2xAn 某些重要结果 ABA AB AB= AB= AB=A,5.1 集合,1. 等幂律： AA=A (1) AA=A， (2) 2. 结合律： (AB)C=A(BC) (3) (AB)C=A(BC) (4) 3. 交换律： AB=BA (5) AB=BA (6) 4.分配律： A(BC)=(AB)(AC) (7) A(BC)=(AB)(AC) (8) 5.同一律： A=A (9) EA=A (10),对于任意集合A,B,C有如下算律：,5.1 集合,6. 零律： EA=E (11) A= (12) 7. 排中律 AA=E (13) 矛盾律 AA= (14) 8.
9、吸收律： A(AB)=A (15) A(AB)=A (16) 9.摩根律： A-(BC)=(A-B)(A-C) (17) A-(BC)=(A-B)(A-C) (18) (BC)=BC (19) (BC)=BC (20) =E (21) E= (22) 10.双重否定律 (A)=A (23),5.1 集合,ABA , AB B (24) A AB , B AB (25) A-B A (26) A-B=AB (27) AB=BABAB=A A-B= (28) AB=B A (29) (AB)C=A ( B C) (30) A =A (31) AA = (32) AB=A CB=C (33),5.1
10、 集合,有限集A 中所含元素的个数称为集合的基数，记作：| A | (或记作card A). 如： A =1,3,2,4,5,9 则 | A |= 6 设B是所有英文字母组成的集合，则 B=26,三、 集合中元素的计数,【定理1】 若A,B,C为任意的集合，则有,(2) ABC= A+ B+ C- AB -AC -BC + ABC ,推论 设A1,A2,An是n个集合，则,(1) A B = A+ B-AB， A=E- ；,5.1 集合,【解】设A，B分别表示熟悉FORTRAN和PASCAL语言的程序员集合，则A B=“至少熟悉一种语言“， (AB）=“两种语言都不熟悉“,【例3】有100名程
11、序员，其中47名熟悉FORTRAN语言，35名熟悉PASCAL语言，23名熟悉这两种语言。问有多少人对这两种语言都不熟悉.,所以，两种语言都不熟悉的有41人,=100-59=41,(AB)= E- AB,=47+35-23=59,A B = A+ B- AB,5.1 集合,【解法二】设A，B分别表示熟悉FORTRAN和PASCAL语言的程序员集合，将熟悉两种语言的对应人数23人添到AB的区域内，不难得到A-B和B-A的人数分别为 A-B=A-AB=47-23=24 B-A=B-AB=35-23=12 从而得 AB=24+23+12=59 (AB)=100-59=41 所以，两种语言都不熟悉的有
12、41人,47,35,24,12,请用方程解此题,用方程解此题: 设两种语言都不熟悉的人为x, 则 100-47-35+23=x ， 解之得 x=41,23,5.1 集合,【例4】求在1和1000之间不能被5或6,也不能被8整除的数的个数. 【解】设1到1000之间的整数构成全集E，A，B，C分别表示其中可被5，6或8整除的数的集合。ABC表示能被5或能被6，或能被8整除的数。 在ABC中的数一定可被5,6和8的最小公倍数5,6,8=120整除，即 ABC=1000/5,6,8=8.,同理得 A=1000/5 =200 B=1000/6=166 C=1000/8=125,从而得 ABC = A+ B+ C- AB -AC -BC +ABC =200+166+125-33-25-41+8=400 所以,不能被5或6,也不能被8整除的数有600个,AB=1000/5,6=33 AC=1000/5,8=25 BC=1000/6,8=41,5.1 集合,【解法二】对上述子集计数： |S|=1000, |A|= 1000/5 =200, |B|=1000/6=133， |C|= 1000/8 =125, |A B|= 1000/30 =33, |B C| = 1000/40 =25, |A C|= 1000/24 =41, |A B C| = 1000
