《2018年秋高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年秋高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.21.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 学习目标：1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用(重点)2.会利用同 角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明(难点) 自 主 预 习探 新 知 1平方关系 (1)公式：sin2cos21. (2)语言叙述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于 1. 2商数关系 (1)公式：tan_(k，kZ Z) sin cos 2 (2)语言叙述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 思考：对任意的角，sin22cos221 是否成立？ 提示 成立平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关 基础自测 1思考辨析
2、(1)对任意角，tan 都成立( ) sin 2 cos 2 2 (2)因为 sin2 cos2 1，所以 sin2cos21 成立，其中，为任意 9 4 4 角( ) (3)对任意角，sin cos tan 都成立( ) 解析 由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知不能取任意 角，所以(1)错，(3)错 答案 (1) (2) (3) 2化简的结果是( ) 1sin23 5 AcosBsin 3 5 3 5 CcosDsin 3 5 3 5 C C 因为是第二象限角， 3 5 所以 cos0， 3 5 所以cos. 1sin23 5 cos23 5 |cos 3 5 | 3
3、5 3若 cos ，且为第四象限角，则 tan _. 3 5 因为为第四象限角，且 cos ， 4 3 3 5 所以 sin ， 1cos2 1(3 5)2 4 5 所以 tan . sin cos 4 3 合 作 探 究攻 重 难 直接应用同角三角函数关系求值 (1)已知，tan 2，则 cos _. (， 3 2 ) (2)已知 cos ，求 sin ，tan 的值. 【导学号：84352041】 8 17 思路探究 (1)根据 tan 2 和 sin2cos21 列方程组求 cos . (2)先由已知条件判断角是第几象限角，再分类讨论求 sin ，tan . (1 1) (1)由已知得E
4、rror! 5 5 5 5 由得 sin 2cos 代入得 4cos2cos21， 所以 cos2 ，又，所以 cos 0， 1 5 (， 3 2 ) 所以 cos . 5 5 (2)cos 0， 8 17 是第二或第三象限的角 如果是第二象限角，那么 sin ， 1cos2 1( 8 17)2 15 17 tan . sin cos 15 17 8 17 15 8 如果是第三象限角，同理可得 sin ，tan . 1cos2 15 17 15 8 规律方法 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法： (1)已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值，要注意公式的合理选 择，一般是
5、先选用平方关系，再用商数关系 (2)若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所 在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果 提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的 符号 跟踪训练 1已知 sin 3cos 0，求 sin ，cos 的值 解 sin 3cos 0， sin 3cos . 又 sin2cos21， (3cos )2cos21， 即 10cos21， cos . 10 10 又由 sin 3cos ，可知 sin 与 cos 异号， 角的终边在第二或第四象限 当角的终边在第二象限时，cos ，sin ； 10 10 3 1
6、0 10 当角的终边在第四象限时，cos ，sin . 10 10 3 10 10 灵活应用同角三角函数关系式求值 (1)已知 sin cos ，(0，)，则 tan _. 7 13 (2)已知2，计算下列各式的值 sin cos sin cos ； 3sin cos 2sin 3cos sin22sin cos 1. 【导学号：84352042】 思路探究 (1)法一 求sin cos 求sin cos 求sin 和cos 求tan 法二 求sin cos 弦化切构建关于tan 的方程求tan (2) 求tan 换元或弦化切求值 (1 1) 法一：(构建方程组) 1 12 2 5 5 因为
7、sin cos ， 7 13 所以 sin2cos22sin cos ， 49 169 即 2sin cos . 120 169 因为(0，)，所以 sin 0，cos 0. 所以 sin cos . sin cos 212sin cos 17 13 由解得 sin ，cos ， 12 13 5 13 所以 tan . sin cos 12 5 法二：(弦化切) 同法一求出 sin cos ， 60 169 sin cos sin2cos2 60 169 tan tan21 60 169 整理得 60tan2169tan 600，解得 tan 或 tan . 5 12 12 5 由 sin c
8、os 0 知|sin |cos |，故 tan . 7 13 12 5 (2)由2，化简， sin cos sin cos 得 sin 3cos ， 所以 tan 3. 法一(换元)原式 . 3 3cos cos 2 3cos 3cos 8cos 9cos 8 9 法二(弦化切)原式 . 3tan 1 2tan 3 3 31 2 33 8 9 原式1 sin22sin cos sin2cos2 11. tan22tan tan21 322 3 321 13 10 母题探究：1.将本例(1)条件“(0，)”改为“(，0)”其他条件不变， 结果又如何？ 解 由例(1)求出 2sin cos ， 1
9、20 169 因为(，0)，所以 sin 0，cos 0， 所以 sin cos sin cos 2 . 12sin cos 17 13 与 sin cos 联立解得 sin ，cos ， 7 13 5 13 12 13 所以 tan . sin cos 5 12 2将本例(1)的条件“sin cos ”改为“sin cos ”其他条件 7 13 1 8 不变，求 cos sin . 解 因为 sin cos 0，所以，所以 cos sin 0， 1 8 ( 2 ，) cos sin . 12sin cos 12 ( 1 8) 5 2 规律方法 1.sin cos ，sin cos ，sin
10、cos 三个式子中，已知 其中一个，可以求其他两个，即“知一求二” ，它们之间的关系是：(sin cos ) 212sin cos . 2已知 tan m，求关于 sin ，cos 的齐次式的值 解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于 sin ，cos 的齐次式(或能化为齐 次式)的三角函数式；(2)因为 cos 0，所以可除以 cos ，这样可将被求式化为关于 tan 的表示式，然后代入 tan m的值，从而完成被求式的求值 提醒：求 sin cos 或 sin cos 的值，要注意根据角的终边位置，利用 三角函数线判断它们的符号. 应用同角三角函数关系式化简 (1)化简_. 2sin
11、21 12cos2 (2)化简.(其中是第三象限角) sin 1cos tan sin tan sin 思路探究 (1)将 cos21sin2代入即可化简 (2)首先将 tan 化为，然后化简根式，最后约分 sin cos (1 1)1 1 (1)原式1. 2sin21 121sin2 2sin21 2sin21 (2)原式 sin 1cos sin cos sin sin cos sin sin 1cos 1cos 1cos sin 1cos 1cos 2 1cos2 . sin 1cos 1cos |sin | 又因为是第三象限角，所以 sin 0. 所以原式1. sin 1cos 1co
12、s sin 规律方法 三角函数式化简的常用方法 1化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的 目的. 2对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的 目的. 3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的. 提醒：在应用平方关系式求 sin 或 cos 时，其正负号是由角所在的象限决定， 不可凭空想象. 跟踪训练 2化简 tan ，其中是第二象限角 1 sin21 解 因为是第二象限角，所以 sin 0，cos 0. 故 tan tan tan 1 sin21 1sin2 sin
13、2 1. cos2 sin2 sin cos | cos sin | sin cos cos sin 应用同角三角函数关系式证明 探究问题 1证明三角恒等式常用哪些方法？ 提示：(1)从右证到左 (2)从左证到右 (3)证明左右归一 (4)变更命题法如：欲证明 ，则可证MQNP，或证 等 M N P Q Q N P M 2在证明sin cos 时如何巧用“1”的 1sin cos 2sin cos 1sin cos 代换 提示：在求证sin cos 时，观察等式左 1sin cos 2sin cos 1sin cos 边有 2sin cos ，它和 1 相加应该想到“1”的代换，即 1sin2cos2， 所以等式左边 sin2cos22sin cos sin cos 1sin cos sin cos 2sin cos 1sin cos sin cos sin cos 1 sin cos 1 sin
