2006年数学建模b题题目即答案

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1、 B 题目: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一从 1981 年发现以来的 20 多年间它已 经吞噬了近 3000 万人的生命。 艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症” 英文简称 AIDS它是由艾滋病毒 医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称 HIV引起的。这种病毒破坏人的免疫 系统使人体丧失抵抗各种疾病的能力从而严重危害人的生命。人类免疫系统的 CD4 细胞在抵御 HIV 的入侵中起着重要作用当 CD4 被 HIV 感染而裂解时其数量会急剧 减少HIV 将迅速增加导致 AIDS 发作。 艾滋病治疗的目的是尽量减少人体内 HIV 的数量同时产生更多的 C

2、D4至少要 有效地降低 CD4 减少的速度以提高人体免疫能力。 迄今为止人类还没有找到能根治 AIDS 的疗法目前的一些 AIDS 疗法不仅对人体 有副作用而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的 AIDS 疗 法。 现在得到了美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据。 ACTG320见附件 1是同时服用 zidovudine齐多夫定 lamivudine拉美夫定和 indinavir茚地那韦 3 种药物的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV 的浓度每毫升血液里的数量 。 193A见附件 2是将 1300 多名病人随机地分为 4 组每组按下述 4 种疗

3、法中的一种 服药大约每隔 8 周测试的 CD4 浓度这组数据缺 HIV 浓度它的测试成本很高 。4 种疗法的日用药分别为600mg zidovudine 或 400mg didanosine去羟基苷 这两种药 按月轮换使用600 mg zidovudine 加 2.25 mg zalcitabine扎西他滨 600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine再加 400 mg nevirapine 奈韦拉平 。 请你完成以下问题 1利用附件 1 的数据预测继续治疗的效果或者确定最佳治疗终止时间继续

4、 治疗指在测试终止后继续服药如果认为继续服药效果不好则可选择提前终止治疗 。 2利用附件 2 的数据评价 4 种疗法的优劣仅以 CD4 为标准 并对较优的疗 法预测继续治疗的效果或者确定最佳治疗终止时间。 (3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下600mg zidovudine 1.60 美元 400mg didanosine 0.85 美元 2.25 mg zalcitabine 1.85 美元 400 mg nevirapine 1.20 美元。如果病人需要考虑 4 种疗法的费用对2中的评价和预测或 者提前终止有什么改变。 1 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 摘要人类最宝

5、贵的生命时刻受着疾病的威胁新的治疗方案的发现给人们的健康 增加了一份保障。对一种治疗方案的疗效评价与预测更是对这种疗法的发展前景起着关 键的决定作用。疗效不好甚至有严重负面作用的药物就应当及时制止应用于临床治疗 以免给人类造成重大损失。 本文以艾滋病的几种疗法为研究对象对其做出疗法的评价及疗效的预测。首先 我们对检测患病人群所得数据进行整理按实际情况抽取其中的有用数据然后根据这 些数据模拟血液中 CD4、HIV 的含量关于时间 t 的函数关系。并根据所得函数进行疗效 预测得到治疗方案的优劣以及最佳终止治疗时间的判定。 然后对较优的艾滋病疗法采用灰色系统理论建立 GM(1,1)预测模型来确定较

6、优方案继续治疗的疗效预测。考虑到实际中人体健康状况随年龄不同的差异我们将患 病人群按年龄的大小分为若干组来进行预测并将预测结果拟合成光滑曲线从图象观 察走势。 最后将价格因素纳入到考虑范围综合考虑价格与疗效的结合。类比于普通商品 的性价比我们可以将某种治疗方案疗效的量化函数与治疗费用的比值作为指标函数 可看作该治疗方法的“性价比” 通过这一指标的高低来判定相应治疗方案的优劣。 关键字 曲线拟合 灰色系统 灰色预测 疗效评价与预测 指标函数 2 一、 问题重述 艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一从 1981 年发现以来的 20 多年间它已 经吞噬了近 3000 万人的生命。 艾滋病的医学全名为

7、“获得性免疫缺损综合症” 英文简称 AIDS它是由艾滋病毒 医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称 HIV引起的。这种病毒破坏人的免疫 系统使人体丧失抵抗各种疾病的能力从而严重危害人的生命。人类免疫系统的 CD4 细胞在抵御 HIV 的入侵中起着重要作用当 CD4 被 HIV 感染而裂解时其数量会急剧 减少HIV 将迅速增加导致 AIDS 发作。 艾滋病治疗的目的是尽量减少人体内 HIV 的数量同时产生更多的 CD4至少要 有效地降低 CD4 减少的速度以提高人体免疫能力。 迄今为止人类还没有找到能根治 AIDS 的疗法目前的一些 AIDS 疗法不仅对人体 有副作用而且成本也很高。许多国家

8、和医疗组织都在积极试验、寻找更好的 AIDS 疗 法。 现在得到了美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据。 ACTG320见附件 1是同时服用 zidovudine齐多夫定 lamivudine拉美夫定和 indinavir茚地那韦 3 种药物的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV 的浓度每毫升血液里的数量 。 193A见附件 2是将 1300 多名病人随机地分为 4 组每组按下述 4 种疗法中的一种 服药大约每隔 8 周测试的 CD4 浓度这组数据缺 HIV 浓度它的测试成本很高 。4 种疗法的日用药分别为600mg zidovudine 或 400mg didan

9、osine去羟基苷 这两种药 按月轮换使用600 mg zidovudine 加 2.25 mg zalcitabine扎西他滨 600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine再加 400 mg nevirapine 奈韦拉平 。 请你完成以下问题 1利用附件 1 的数据预测继续治疗的效果或者确定最佳治疗终止时间继续 治疗指在测试终止后继续服药如果认为继续服药效果不好则可选择提前终止治疗 。 2利用附件 2 的数据评价 4 种疗法的优劣仅以 CD4 为标准 并对较优的疗 法预测继续治疗的效果或

10、者确定最佳治疗终止时间。 3 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下 600mg zidovudine 1.60 美元400mg didanosine 0.85 美元2.25 mg zalcitabine 1.85 美元400 mg nevirapine 1.20 美元。如果病人需要考虑 4 种疗法的费用对2中的评价和预测或者提前终 止有什么改变。 二、问题的分析 本题的关键在于如何利用附件中合理的数据挖掘数据中的关系。 在处理数据时按以下的原则 1题目中提供了患病者在不同时间点的治疗效果即 CD4 和 HVI 的数量。仔细分 析本题所给数据就会发现每个患者测试的次数不相同测试的

11、时间点的间距也没有规 律而且由于测试成本昂贵所提供的时间点不超过 6 个。所以对于测试次数较少的患 者没有什么参考价值对于此类数据应剔除。有个别变化明显区别大多数变化规律的也 予以剔除。 2对于附件 1 在测试时间初始处由于个体差异和健康状况不同每个人的 CD4 的数量差距比较大但 HVI 波动较小所以根据 CD4 的初始状态把患者分成若干段分别 3 进行分析和预测。同理由于年龄的波动也较大于是根据年龄将附件 2 中的患者分成若 干段采用灰色系统预测 CD4 的走势。 三、模型假设 1 CD4、HIV 数量随时间的变化是连续的对数据点做曲线拟合。 2 CD4 与 HIV 数量的变化只与治疗的药

12、物有关外界状况对患者体内 CD4 和 HIV 数量的 影响忽略。 3 最佳治疗终止时间后患者患病状况不予考虑。 4 患者在治疗过程中没有间断停药和漏服。 四、模型的建立与求解 一 问题一的模型 一模型一的建立 基于前面叙述的原则一首先对附件 1 中的不利数据即考察时间点较少及明显不符 合大致走向的数据从数据表中剔除 从而获得较有规律的数据表 然后在结合 CD4 和 HIV 两个因素参量来观察和预测。 由于个人在接受治疗初期时 CD4 的含量因人而异同而 HIV 的数量变化较小从而 依据 CD4 的初始状态将测试人群划分为七段分别是030 、3060 、6090 、 90120 、120150

13、、150180 、180230七个组。然后分别各分段的测试人 群 CD4 和 HIV 数量的变化利用数学软件 matlab 分别对其做四次多项式拟合。 下图是各个组测试人群 CD4 数量与时间的变化关系 图 1 4 下图是各个组测试人群 HIV 数量与时间 t 的变化关系 图 2 下图是 CD4 数量在总体下关于 t 的拟和效果 图 3 5 下图是 HIV 数量在总体下关于时间 t 的拟合效果 图 4 从以上 CD4 与时间 t 变化关系图中可以看出在患者接受治疗初期CD4 有一段大 约十周时间的明显增长 这是由于药物对体内的 HIV 病毒产生了作用 从而使体内的 CD4 的数量增加。 但此后

14、的增长放缓 这是由于 HIV 的产生了抗药作用 抑制了 CD4 的增长。 到了 20 周左右又达到了第二次峰值 出现了治疗时期的反弹现象 直到 35 周左右 HIV 产生了足够强的抗药性使得患者体内的 CD4 急剧的减少不再产生反弹现象。 从以上 HIV 与时间 t 变化关系图中看出 在治疗初期 HIV 有大约 10 周时间的减少 受到了药物的作用。但 HIV 产生了抗药性产生大约 10 周的缓慢增长。接着又被药物 抑制增长使数量有了明显的减少。大约在 35 周附近HIV 的抗药性变强药物对其不 再产生作用从而 HIV 的数量急剧增加。 从图 3 中可看出 CD4 与 HIV 呈现此消彼长的现

15、象而且二者的峰值基本在同一时间 点附近达到对立状态从而此图为在确定何时为最佳治疗终止时间提供了有利的说明和 预测。 综上所述在此种治疗方案下患者体内的 CD4 的数量随时间的波动出现了两次波 峰值 此时正好对应了 HIV 数量波动两次波谷值 并且第二次的峰值较第一次振动强烈。 在以后的时段不会在再有反弹增加。 因而我们预测的结果为接受治疗后患者将在10周附近出现第一次的增长的峰值 在 此几乎同时出现 HIV 减少的第一次峰值 之后出现较平缓的减少趋势在 20 周附近又 出现增长并且增长速度不断增加至 35 周附近将达到第二次增长的峰值在此也同时 出现了 HIV 减少的第二次峰值 并且比前一次峰值的出现要剧烈。之后由于 HIV 的抗 药性很强使得 CD4 的数量比较快的减少并不再有反弹增加的现象。 6 二模型结果的分析与验证 根据处理过的数据表中每个测试患者的 CD4 的数量求出在测试时间的每个时间段内 的 CD4 的变化率。然后在总体上利用数学软件 matlab 对 CD4 的变化率分别拟合曲线。 下图是 CD4 变化率与时间 t 的变化关系 图 5 根据参考文献5中提到的如果以 CD4 细胞的增长率 30%以上为治疗有效既无间 断停药也无漏服的治疗