《2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第一章 计数原理章末复习 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第一章 计数原理章末复习 （15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章末复习学习目标1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.理解排列与组合的区别与联系，能利用排列组合解决一些实际问题.3.能用计数原理证明二项式定理，掌握二项式定理和二项展开式的性质1分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有Nm1m2mn种不同的方法3排列数与组合数公式及性质排列与排列数组合与组合数公
2、式排列数公式An(n1)(n2)(nm1)组合数公式C性质当mn时，A为全排列；An！；0！1CC1；CC；CCC备注n，mN*，且mn4.二项式定理(1)二项式定理的内容：(ab)nCanCan1b1CankbkCbn (nN*)(2)通项公式：Tk1Cankbk，k0,1,2，n(3)二项式系数的性质：与首末两端等距离的两个二项式系数相等；若n为偶数，中间一项的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项的二项式系数相等且最大CCCC2n；CCCC2n1.类型一数学思想方法在求解计数问题中的应用例1车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这
3、11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解方法一设A，B代表2位老师傅A，B都不在内的选派方法有CC5(种)，A，B都在内且当钳工的选派方法有CCC10(种)，A，B都在内且当车工的选派方法有CCC30(种)，A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有ACC80(种)，A，B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC20(种)，A，B有一人在内且当车工的选派方法有CCC40(种)，所以共有CCCCCCCCACCCCCCCC185(种)方法二5名男钳工有4名被选上的方法有CCCCCCCC75(种)，5名男钳工有3名被选上的方法有C
4、CCCCA100(种)，5名男钳工有2名被选上的方法有CCC10(种)，所以共有7510010185(种)方法三4名女车工都被选上的方法有CCCCCCCC35(种)，4名女车工有3名被选上的方法有CCCCCA120(种)，4名女车工有2名被选上的方法有CCC30(种)，所以共有3512030185(种)反思与感悟解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：类与类之间要互斥(保证不重复)；总数要完备(保证不遗漏)跟踪训练1从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应
5、排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有_个(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类分三类：没有数字1和3时，有A个；只有1和3中的一个时，有2A个；同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有CC个所以满足条件的三位数共有A2ACC60(个)例2设集合S1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合Aa1，a2，a3是S的子集，且a1，a2，a3满足a1a26包含的情况较少，当a39时，a2取2，a1取1，只有这一种情况，利用正难则反思想解决集合S的含有三个元素的子集的个数为C84.
6、在这些含有三个元素的子集中能满足a1a26的集合只有1,2,9，故满足题意的集合A的个数为84183.反思与感悟对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考跟踪训练2由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有_种考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案30解析从4人中选出两个人作为一个元素有C种方法，同其他两个元素在三个位置上排列有CA36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲、乙同时参加同一竞赛有A种方法，不同的参赛方案共有36630(种)类型二排列与组合的综合应用例3
7、在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A24(种)方法根据分步乘法计数原理，一共有5 04024120 960(种)安排顺序(2)第一步将6个演唱节目排
8、成一列(如图中的“”)，一共有A720(种)方法第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“”的位置)这样相当于7个“”选4个来排，一共有A840(种)方法根据分步乘法计数原理，一共有720840 604 800(种)安排顺序(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A132(种)排列反思与感悟排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏在用间接法计数时，要注意考虑全面
9、，排除干净跟踪训练3在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，称该数为“驼峰数”，比如：“102”“546”为驼峰数，由数字1,2,3,4,5这5个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为_考点排列的应用题点数字的排列问题答案30解析三位“驼峰数”中1在十位的有A个，2在十位上的有A个，3在十位上的有A个，所以所有的三位“驼峰数”的十位上的数字之和为121622330.类型三二项式定理及其应用例4已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是563.(1)求展开式中的所有有理项；(2)求展开式中系数绝对值最大的项；(3)求n9C81C9n1C的值考点二项式定理的应用题点二
10、项式定理的简单应用解(1)由C(2)4C(2)2563，解得n10(负值舍去)，通项为Tk1C()10kk(2)kC，当5为整数时，k可取0,6，于是有理项为T1x5和T713 440.(2)设第k1项系数的绝对值最大，则解得又因为k1,2,3，9，所以k7，当k7时，T815 360，又因为当k0时，T1x5，当k10时，T11(2)101 024，所以系数的绝对值最大的项为T815 360.(3)原式109C81C9101C.反思与感悟(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的
11、指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入(5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质跟踪训练4已知二项式n展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍(1)求n；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中所有有理项考点二项式定理的应用题点二项式定理的简单应用解(1)令x1得二项式n展开式中各项系数之和为(51)n4n，各项二项式系数之和为2n，由题意得，4n162n，所以2n16，n4.(2)通项Tk1C
12、(5x)4kk(1)kC54k，展开式中二项式系数最大的项是第3项：T3(1)2C52x150x.(3)由(2)得4kZ(k0,1,2,3,4)，即k0,2,4，所以展开式中所有有理项为T1(1)0C54x4625x4，T3(1)2C52x150x，T5(1)4C50x2x2.例5若(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10.(1)求a2；(2)求a1a2a10；(3)求(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)2.考点展开式中系数的和问题题点多项展开式中系数的和问题解(1)(x23x2)5(x1)5(x2)5，a2是展开式中x2的系数，a2C(1)5C(2)3C(1)4C(2)4C(1
13、)3C(2)5800.(2)令x1，代入已知式可得，a0a1a2a100，而令x0，得a032，a1a2a1032.(3)令x1可得，(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)65，再由(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)0，把这两个等式相乘可得，(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)26500.反思与感悟与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果跟踪训练5若(x21)(x3)9a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3a11(x2)11，则a1a2a3a11的值为_考点展开
