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1、北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，则ABA. 0 B. 0，1 C. 1，2 D. 0，1，2【答案】B【解析】【分析】解出集合B，再根据集合的交集的概念得到结果.【详解】集合=；，则AB0，1.故答案为：B.【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集（2）看这些元素满足什么限制条件（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性2.已知，下列不等式中必成立的一个是
2、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可以通过举出一些特例，用赋值的方法推翻选项.【详解】已知,由不等式的同向相加的性质得到正确；当a=2,b=1,c=-2,d=-1时，, ，故A，B，D不正确；故答案为：C.【点睛】这个题目考查了根据不等式的性质判断大小关系，较为基础.3.“”是“函数只有一个零点”的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：求出函数只有一个零点的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可.详解：若函数只有一个零点，若时，只有一个零点，符合题意；若时，则，解得，综上所述：，故“”是“函数只
3、有一个零点”的充分不必要条件.故选：B.点睛：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验4.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）A. B. （1，2） C. （3，4） D. （4，5）【答案】C【解析】【分析】根据函数的零点存在定理得到结果即可.【详解】函数,是单调递减的函数，,根据零点存在定理得到在区间（3，4）上存在零点.故答案为：C【点睛】这个题目考查了函数零点存在定理的应用，即在区间（a,b）上，若f(a)f(
4、b)0,则在此区间上函数一定存在零点，但是零点个数不确定；如果判断出函数是单调的，再判断出f(a)f(b)3,故，之后代入解析式即可.【详解】3,故= 故答案为：6.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.15.能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数_。【答案】答案不唯一，比如或；【解析】【分析】根据题意举出反例即可.【详解】根据题意只
5、要举出的例子不符合函数单调增即可，可以在区间端点处违反单调性，即.答案为：答案不唯一，比如或；【点睛】这个题目考查了函数的单调性的应用，以及考查了学生对单调性的理解.16.设函数的定义域为D，如果对任意的，存在，使得（m为常数），则称函数在D上的算术平均数为m。请写出函数在区间上的算术平均数m_。【答案】【解析】【分析】将原式子化简得到，再用赋值法得到，则，两者取交集得到结果即可.【详解】因为化简得到 令，则 令故只能是m=3.故答案为：3.【点睛】这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型关键是要读懂题意充分利用即时定义来答题三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过
6、程。17.计算（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】根据指对函数的运算公式求解即可.【详解】（1）原式1032446.（2）.（3）【点睛】对数的运算性质:,化简原则:（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）18.已知函数的定义域为集合A，B。（1）若，求；（2）若，求m的取值范围。【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)解出集合A得到补集，再由集合交集的概念得到结果；（2）， 解出即可.【详解】（1）由，解得集合；当时，可化为，即，解得集合，（2）。 ，。【点睛
7、】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析19.已知定义在R上的奇函数，当时，。（1）求出f（x）的解析式，并直接写出f（x）的单调区间；（2）求不等式f（x）3的解集。【答案】（1），增区间，减区间；（2）.【解析】【分析】(1) 当时，,最后写成分段形式即可；（2）当时，时，两者并起来即
8、可.【详解】（1）当时，；，的单调增区间为：（2，2）；的单调减区间为：。（2）当时，；当时，或（舍去）；或不等式的解集为。【点睛】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；20.已知函数。（1）判断函数f（x）是否具有奇偶性？若具有，请给出证明，若不具有，请说明理由。（2）试用函数的单调性的定义证明：f（x）在R上是减函数。【答案】（1）奇函数；（
