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1、小题标准练(一) (40分钟80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合P=xR|0x1,Q=xR|x2+x-20,则( )A.PQB.PRQC.RPQD.RQRP【解析】选D由题意得集合P=x|0x1,Q=x|-2x1,所以RP=x|x0或x1,RQ=x|x1,所以RQ RP.2.设z=a+bi(a,bR,i为虚数单位),若(1+i)2+|2i|=,则直线bx-ay+a=0的斜率为( )A.-1B.1C.3D.【解析】选A.由于=(1+i)2+|2i|=2i+2,则z=2-2i,可得a=2,b=-2,即直线的方程
2、为-2x-2y+2=0,亦即y=-x+1,故斜率k=-1.3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为()A.73 m3B.92 m3C.72 m3D.94 m3【解析】选C.该几何体是三个正方体和半个正方体的组合体,所以几何体体积为313+1213=72(m3).4.下列命题中的假命题是()A.xR,2x-10B.xN*,(x-1)20C.x0R,ln x00对xR恒成立,所以A是真命题,当x=1时,(x-1)2=0,所以B是假命题.5.已知4,sin(-4)=45,则cos =()A.210B.-210C.7210D.-【解析】选B.方法一:因为4,所以-4(0
3、,2),又sin(-4)=45,所以cos(-4)=1-sin2-4=35.所以cos =cos(-4)+4=cos(-4)cos4-sin(-4)sin4=(35-45)=-210.方法二:因为sin(-4)=45,所以(sin -cos )=45,即sin -cos =425,又4|cos |.所以sin +cos =325,由-2得cos =-210.6.已知实数x,y满足不等式组x+y3,x+y2,x0,y0, 若z=x-y,则z的最大值为()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.作出不等式组 所对应的可行域(如图所示),变形目标函数为y=x-z,平移直线y=x-z可知,当直线经过点(
4、3,0)时,z取最大值,代值计算可得z=x-y的最大值为3.7.已知数列an的前n项和Sn=n2-6n,则|an|的前n项和Tn=()A.6n-n2B.n2-6n+18C.6n-n2(1n3)n2-6n+18(n3)D.【解析】选C.由Sn=n2-6n可得,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-6n-(n-1)2+6(n-1)=2n-7.当n=1时,S1=-5=a1,也满足上式,所以an=2n-7,nN*.所以n3时,an3时,an0,当n3时,Tn=-Sn=6n-n2,当n3时,Tn=-a1-a2-a3+a4+an=Sn-2S3=n2-6n-2(32-63)=n2-6n+18,所以Tn=6n
5、-n2(1n3),n2-6n+18(n3).8.如图在边长为1的正方形组成的网格中,平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住,请找出D的位置,计算的值为()A.10B.11C.12D.13【解析】选B.如图建立平面直角坐标系,则=(4,1)(2,3)=11.9.在ABC中,AC=,BC=2,B=3,过B作AC的垂线,垂足为D,则()A.=17+67B.=+65C.=27+57D.=47+37【解析】选A.由余弦定理得c2+22-2c2cos =(7)2,解得c=3,因为BD是ABC的高,所以BD=1223sin 3,解得BD=3217,由余弦定理得cos C=714,所以CD=2714=,所以=1
6、7,所以-=17(-),所以=17+67.10.设数列an的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则Sn的取值范围是()A.(0,1)B.(0,+)C.D.12,+【解析】选C.已知an+Sn=1,当n=1时,得a1=12;当n2时,an-1+Sn-1=1,两式相减,得an-an-1+an=0,2an=an-1,由题意知,an-10,所以anan-1=12(n2),所以数列an是首项为12,公比为12的等比数列,所以Sn=121-12n1-12=1-,所以Sn.11.设抛物线y2=4x的准线为l,点M在抛物线上,且在第一象限内,若圆M与l相切,在y轴上截得的线段长为6,则圆M的标准方程为()A
7、.(x-4)2+(y-4)2=5B.(x-3)2+(y-2)2=25C.(x-4)2+(y-4)2=25D.(x-2)2+(y-3)2=5【解析】选C.设圆M的半径为r,圆心的坐标为(a,b),a0,b0,因为抛物线y2=4x的准线为l,所以准线l的方程为x=-1,因为圆M与l相切,所以a=r-1,因为圆M在y轴上截得的线段长为6,所以(r-1)2+32=r2,解得r=5,所以a=4,又b2=4a,所以b=4,所以圆M的标准方程为(x-4)2+(y-4)2=25.12.定义域为R的函数f(x)满足f(x-2)=-f(x)且f(x)= ,则关于x的方程5 f(x)=x的实数解个数为()A.7B.
8、8C.9D.10【解析】选B.因为f (x-2)=-f (x),所以f(x-4)=-f(x-2)=f(x),所以f(x)的周期为4.由5f (x)=x得f(x)=x5,作出y=f(x)和y=x5的函数图象如图所示:由图象可知两图象有8个交点,故关于x的方程5f(x)=x 有8个解.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.以下四个命题中:在回归分析中,可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果,R2越大,模型的拟合效果越好;两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1;若数据x1,x2,x3,xn的方差为1,则2x1,2x2,2x3,2xn的方
9、差为2;对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说,k越小,判断“x与y有关系”的把握程度越大.其中真命题是_.【解析】由相关指数R2越接近于1,模型的拟合效果越好知正确;由相关系数r的绝对值越接近于1,两个随机变量的线性相关性越强知正确;错误.故真命题是.答案:14.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表:年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为_.【解析】设种植黄瓜
10、x亩,种植韭菜y亩,因此,原问题转化为在条件下,求z=0.554x+0.36y-1.2x-0.9y=x+0.9y的最大值.画出可行域如图.利用线性规划知识可知,当x,y取的交点(30,20)时,z取得最大值.答案:30,2015.若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+)上单调递增,则实数a的取值范围是_.【解析】因为f(x)=x2+a|x-2|,所以f(x)= 又因为f(x)在(0,+)上单调递增,所以-a22,a20 -4a0,即实数a的取值范围是-4,0.答案:-4,016.设A=(x,y)|x2-a(2x+y)+4a2=0,B=(x,y)|y|b|x|,若对任意实数a,均有AB成立
11、,则实数b的最大值为_.【解析】(1)当b0时,集合B表示的是整个坐标平面上的所有点,显然对任意实数a,均有AB成立.(2)当b0时,集合B表示的是两条直线y=bx表示的上下对角区域,如图所示,若a=0,则A=(x,y)|x=0,即集合A表示y轴上的所有点,满足AB成立.若a0,由x2-a(2x+y)+4a2=0,得y=x2-2x+4a,则此抛物线与直线y=bx至多有一个公共点,且与y=-bx至多有一个公共点,即方程bx=1ax2-2x+4a,方程-bx=1ax2-2x+4a至多有一个解,即方程x2-(2a+ab)x+4a2=0,方程x2-(2a-ab)x+4a2=0至多有一个解,则1=(2a+ab)2-16a20,2=(2a-ab)2-16a20,解得-2b2.因为b0,所以0b2,所以b的最大值为2.答案:2
