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1、考点测试考点测试 2424 解三角形的应用解三角形的应用 一、基础小题 1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，之间的关系是( ) A B C90 D180 答案 B 解析 根据仰角与俯角的含义，画图即可得知 2在ABC中，若A，B，C成等差数列，且AC，BC2，则A( ) 6 A135 B45 C30 D45或 135 答案 B 解析 因为A，B，C成等差数列，所以B60由正弦定理，得，则 sinA 2 sinA 6 sin60 又BCAC，所以AB，故A45故选 B 2 2 3海上有三个小岛A，B，C，测得BAC135，AB6，AC3，若在B，C两岛的连线 2 段之间建一座灯塔D
2、，使得灯塔D到A，B两岛距离相等，则B，D间的距离为( ) A3 B C D3 1010132 答案 B 解析 由题意可知，D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，设BDt由余弦定理可得 BC262(3)2263cosBAC90，解得BC3由 cosABC 2210 3 t ，解得t故选 B 623 1023 22 2 6 3 1010 4一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔P的南偏西 75距塔 68 海里的M处， 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( ) A海里/小时 B34海里/小时 17 6 26 C海里/小时 D34海里/小时 17 2 22 答案
3、 A 解析 如图所示，在PMN中，MN34v PM sin45 MN sin120 68 3 26 MN 4 (海里/小时)故选 A 17 6 2 5在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则ABC的 sinA a cosB b cosC c 形状为( ) A等边三角形 B等腰直角三角形 C有一个角为 30的直角三角形 D有一个角为 30的等腰三角形 答案 B 解析 由正弦定理，得，又，两式相除，得 sinA a sinB b sinC c sinA a cosB b cosC c 1tanBtanC，所以BC45所以A90，故ABC为等腰直角三角形故选 B 6如图所示，为了测量
4、某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一 点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方法：测量 A，C，b；测量a，b，C；测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为( ) A B C D 答案 D 解析 由题意可知，在三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出 AB故选 D 7一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶 80 海里至M处，然后沿东偏 南 30方向行驶 50 海里至N处，再沿南偏东 30方向行驶 30海里至B岛，则A，B两岛之间 3 的距离是_海里 答案 70 解析 依题意画出图形，连
5、接AN，则在AMN中，应用余弦定理可得 AN250280225080cos60，即AN70应用余弦定理可得 cosANM ，所以 sinANM在ANB中，应用余弦定理可得AB2(30) 502702802 2 50 70 1 7 4 3 73 2702230 70cosANB，而 cosANBcos(150ANM)cos150 3 cosANMsin150sinANM， 3 3 14 所以AB70 30 327022 30 3 70 3 3 14 8某中学举行升旗仪式，在坡度为 15的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部 的仰角分别为 30和 60，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影
6、B点的距离为 10 m，则 旗杆的高是_m 答案 10(3) 3 解析 由题意得DEA45，ADE30，AE，所以 AB cos15 AD，因此CDADsin60sin6010(3) AEsin45 sin30 2AB cos15 2 10 cos45303 二、高考小题 9(2016全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则 cosA( ) 4 1 3 A B C D 3 10 10 10 10 10 10 3 10 10 答案 C 解析 解法一：过A作ADBC，垂足为D，由题意知ADBDBC，则 1 3 CDBC，ABBC，ACBC，在ABC中，由余弦定理的推论可知，cosBAC 2
7、 3 2 3 5 3 故选 C AB2AC2BC2 2ABAC 2 9BC2 5 9BC2BC2 2 2 3 BC 5 3 BC 10 10 解法二：过A作ADBC，垂足为D，由题意知ADBDBC，则CDBC，在 RtADC中， 1 3 2 3 ACBC， 5 3 sinDAC，cosDAC，又因为B， 2 5 5 5 5 4 所以 cosBACcoscosDACcossinDACsin (DAC 4) 4 4 5 5 2 2 2 5 5 2 2 10 10 故选 C 10(2018北京高考)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_； 3 4 的取值范围是_ c a 答案 (2，)
8、 3 解析 依题意有acsinB(a2c2b2)2accosB，则 1 2 3 4 3 4 tanB，0， c a sinC sinA sin2 3 A sinA 1 2 3cosA 2sinA 1 2 3 2 1 tanA 2 3 2 又A0，0，故 2 1 tanA3 c a 1 2 3 23 故 的取值范围为(2，) c a 11(2018江苏高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120， ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则 4ac的最小值为_ 答案 9 解析 解法一：依题意画出图形，如图所示 易知SABDSBCDSABC， 即csin60asin60 1
9、2 1 2 acsin120，acac， 1， 1 2 1 a 1 c 4ac(4ac) 5 9，当且仅当 ，即a ，c3 时取“” 1 a 1 c c a 4a c c a 4a c 3 2 解法二：作DECB交AB于E， BD为ABC的平分线， ， BA BC AD DC c a DECB， ， AD AC AE AB DE BC c ac ， BE a acBA ED c acBC BD a acBA c acBC 2， BD2 a acBA c acBC 1 222 | ， a acBA c acBC a ac c ac BA BC 1 2 1，acac， 1， ac 2 ac 2 1
10、 a 1 c 4ac(4ac) 5 9，当且仅当 ，即a ，c3 时取“” 1 a 1 c c a 4a c c a 4a c 3 2 解法三：以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则D(1,0)，ABc，BCa， A，c，C，a c 2 3 2 a 2 3 2 A，D，C三点共线， AD DC 1 ac10， c 2 3 2 3 2 a 2 acac， 1， 1 a 1 c 4ac(4ac) 5 9，当且仅当 ，即a ，c3 时取“” 1 a 1 c c a 4a c c a 4a c 3 2 12(2015全国卷)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的
11、取值 范围是_ 答案 (，) 6262 解析 解法一：如图所示， 因为ABC75， 所以D135 因为BC2， 所以当点D与点C重合时， 由正弦定理可得，解得AB AB sin30 BC sin7562 当点D与点A重合时，由正弦定理可得 ，解得AB AB sin75 BC sin3062 因为ABCD为平行四边形， 所以AB(，) 6262 所以AB的取值范围是(，) 6262 解法二：如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则 BFAD，所以AD3 (2)在ABD中， BD sinBAD AB sinADB 又由 cosBAD，得 sinBAD ， 2 2 3 1
12、 3 所以 sinADB， 6 3 则 sinADCsin(ADB)sinADB 6 3 因为ADBDACCC， 2 所以 cosC 6 3 在 RtADC中，cosC， 6 3 则 tanC，所以AC3 2 2 AD AC 3 AC2 则ABC的面积SABACsinBAC 1 2 336 1 222 2 2 32 6(2018郑州质检)在ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2ccosB2ab (1)求角C的大小； (2)若ABC的面积Sc，求ab的最小值 3 2 解 解法一：(1)因为 2ccosB2ab， 所以 2c2ab， a2c2b2 2ac 化简得a2b2c2ab，
13、 所以 cosC a2b2c2 2ab 1 2 又因为 0C180，所以C120 (2)因为SabsinCabc，即cab 1 2 3 4 3 2 1 2 代入a2b2c2ab，得a2b2aba2b22ab， 1 4 解得ab12，所以ab的最小值为 12，当且仅当ab时，等号成立 解法二：(1)因为 2ccosB2ab，2R，所以 2sinCcosB2sinAsinB， a sinA b sinB c sinC 即 2sinCcosB2sin(BC)sinB， 所以 2sinCcosB2sinBcosC2cosBsinCsinB 即 sinB(2cosC1)0， 因为 sinB0，解得 cosC 1 2 又因为 0C180，所以C120 (2)因为SabsinCabc，即cab 1 2 3 4 3 2 1 2 又因为c2a2b22abcosCa2b2ab， 所以a2b2a2b2ab3ab，解得ab12， 1 4 所以ab的最小值为 12，当且仅当ab时，等号成立
