实用高等数学课件教学课件作者盛光进9简单实用数学模型

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1、目 录,第九章 简明实用数学模型,下页,目 录,第九章 简明实用数学模型,下页,9.1 数学模型的概念和分类,模型是客观事物的一种简化和体现，它具备如下的三要素： 观事物的一种模仿或抽象； 表现一个复杂的系统或现象； 必须具有所研究系统的基本特征或要素 数学模型是指对于现实世界的一个特定对象，为了某种目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，建立起来的等式或不等式以及图表、图形、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式,一、数学模型的概念,9.1 数学模型的概念和分类,常用的几种分类 1.按照建模所用的数学方法的不同，可分为：初等模型、运筹学模型、微分方

2、程模型、概率统计模型、控制模型等 2.按照数学模型的应用领域的不同，可分为：人口模型、交通模型、环境模型、城市规划模型、经济预测模型、金融模型、生态模型、企业管理模型等 3.按模型中使用的变量的性质的不同，可分为：确定性模型与随机性模型、静态模型与动态模型、离散性模型与连续性模型等 4.按照建模的目的不同，可分为：描述模型、分析模型、优化模型、决策模型、控制模型和预测模型等,二、数学模型的分类,9.2 数学建模的方法与步骤,一、数学建模的方法,1.直接分析法通过对直观图形、数据进行分析，对参数进行估计、计算，并对结果进行模拟如工厂根据已知的条件研究如何安排某种产品的生产，才能使利润最大的问题

3、2.机理分析法.即运用自然科学中的已被证明的正确的理论、原理和定律，由被研究的对象进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型.如田忌赛马、核竞赛等。 3.数据分析法对有些相关关系问题，如人的身高与体重关系；钢材销售量与基本建设的关系等，可以通过收集大量的试验数据，根据数据处理法，建立近似描述问题的数学模型,9.2 数学建模的方法与步骤,4.构造分析法当有些问题的机理不清，缺少数据，又不能通过试验来获得数据时，先建立一个合理的模型结构，再利用已知信息确定模型的参数，或对模型进行模拟计算 5.数学分析法用“现成”的数学方法建立模型如图论、微分方程、规划论、概率统计方法等,9.2 数学建模的方法与

4、步骤,二、数学建模的一般步骤,1.建模准备.在建模前应对实际问题的历史背景和内在规律有深刻的了解，必须对其进行全面的、深入的调查和研究，并注意收集与该问题相关的数据 2.模型假设. 要抓住主要因素，忽略次要因素，对实际问题作一些必要的简化，用精确的语言作出大胆的简化假设 3.模型建立根据问题的要求和假设，分析研究对象的因果关系，选择恰当的数学工具来描述各种变量之间的数学关系 4.模型求解建立数学模型后，对于简单的问题可以人工求解；而对于比较复杂的问题，则需要利用数学工具和计算机软件对其进行求解。常用软件: MATLAB， LINDO等.,9.2 数学建模的方法与步骤,5.模型检验在求得模型的解

5、之后，需要对模型进行分析和检验。 6.模型应用。经过检验与完善的数学模型就可以投入应用了。 数学建模过程和步骤可用如下流程图表示：,9.3 简明实用数学模型,一、成果评选的得票率模型,1. 问题描述 设有 个评委组成的评选委员会，有 项研究成果，评委会要从中选出 项优秀成果，但有些评委是某些成果的完成者，问应如何处理此问题才是公平的？,【分析评价】这个方案对非评委的研究成果的完成者不够公平因为评委对自己完成的成果投赞成票的可能性最大,2.模型的构成与求解 【方案1】 按得票多少顺序，得票较多的前 项成果为优秀成果,9.3 简明实用数学模型,参与完成该项成果的C个评委不大满意，他们认为：若他们也

6、参加投票，则得票率为,【方案2】评委不参加对自己的研究成果投票，按得票率多少排序，取得票率较大的前 项成果为优秀成果.,【分析评价】设某项成果涉及C 个评委，他们回避后该项成果得 票 ， ，则该项成果的得票率为,9.3 简明实用数学模型,作为度量函数.当 C=0时，上式变成,即为不涉及评委的成果的得票率,比较 与 的大小，可知除 外，对每一个 ，均有 .,综合上述讨论，按照相对公平的原则，应采取对 和 的折衷方案，如涉及评委的成果的得票率可定义,9.3 简明实用数学模型,综上可得到成果评选的得票率模型为,其中 为涉及成果的评委回避后的得票数， C为某项成果涉及的评委人数， N为评选委员会组成人

7、数,9.3 简明实用数学模型,3.模型的应用 【例1】 设有7个评委组成的评选委员会，有24项研究成果，编号分别为第1号、第2号、 、第24号假定评委会要从中选出8项优秀成果，每个评委可投8票第2号成果涉及1个评委，它的得票数是5票第8号成果不涉及评委，它的得票数是4.问这两个成果谁的排名靠前？,【解】这里已知 ，代入成果评选的得票率模型，得到第2号成果的得票率为,9.3 简明实用数学模型,再将已知条件 ，代入成果的得票率模型，得到第8号成果的得票率为,经比较知 ，因此第2号成果的排名靠前,9.3 简明实用数学模型,1. 问题描述 向银行存款或贷款是最常见的金融活动，贷款的报酬称为利息贷款有规

8、定的计息期限（如以一年，一月或一日为一期等），贷款的总额称为本金作为贷款的报酬，收回贷款时所收的额外的本金的一定百分比或千分比即利息,2.模型的构建与求解 记本金为P ，每期利息与本金之比为利率，记为 R利率与贷款期限的长短有关，按期限有年、月、日，分别称为年利率、月利率和日利率利率用百分率和千分率表示，习惯上分别称为分或厘如月息3厘表示一个月可获本金 3作为利息年利率，月利率之间可以互相换算,二 、复利、贴现模型,9.3 简明实用数学模型,例如2005年银行的存款年利率为，活期0.72%，三个月期1.71%，一年期2.25%，二年期2.70%，三年期3.24%，五年期3.6%。经换算可得3个

9、月期的期利率为 R=1.71%/4=0.4275% 而三年期的期利率为 R=3 3.24%=9.72%,复利计息的数学模型及其应用 （1）复利 复利计息方法是在贷款一期之末结息一次，再将利息转为本金，即和原来的本金一起作为下一期的本金而产生利息，这种计息方法称为复利本金和利息之总和称为本利和，记为S ，有 ，其中 P为本金, I为利息。,9.3 简明实用数学模型,设利率为R ，贷款时间为 期，那么第1期末的本利和为,第2期末的本利和为,这是复利计算的基本公式，也是复利计算模型,第 期末的本利和为,贷款 期的利息为,9.3 简明实用数学模型,(2) 终值和现值,货币用来投资，随着时间的推移会产生

10、收益，从而使货币增加，这就是货币的时间价值 终值和现值是刻画货币时间价值的两个概念。 例如,在复利计算的情形下，设本金为P ，每期利率为R ，贷款期数 为 ，到 期末本利和就变为 了， S称为 P的终值,假定Q 为现在存入银行的钱，它存 期后所得到的钱为S ， Q称为S 的现值， 现值计算的数学模型,9.3 简明实用数学模型,3.模型的应用 【例2】 如银行存款年利率为2.25% ，每年结息一次若3年后要得到本利和600元，应存入银行多少元呢？,【解 】 根据现值计算的数学模型 ，可得，,因此，为得本利和600元，则应存入561.26元,9.3 简明实用数学模型,【例3】 若本金为700元，存

11、一年期年利率为2.25% ，复利计息，为得本利和1240元，求存期,【解】 在复利计算模型 的两边取常用对数得,解得,将已知 ，代入上式得,因此，为得本利和1240元，需存25.70年,9.3 简明实用数学模型,【例4】 一处房产价格为21万元，据预测该房产三年后的价格将上涨为23万元某人欲向银行贷款来进行此项房产投资设银行贷款的年利润为5%，按复利计算，此项投资能否盈利？,【解法一】 3年后的23万元的现值为,该房产三年后的价格的现值19.8683万元，低于现在的投资额21万元，不能赢利,【解法二】用终值的观点来分析比较.,9.3 简明实用数学模型,三 、年金、分期付款模型,1. 问题描述

12、投资行为是周期性的（如零存整取储蓄等），即把投资期限分为时间相同的若干期，在每期的开始或结束投入数量相同的本金这类问题统称为“年金问题”，每期投入的本金称为年金,投资发生在每一周期开始时的，称为发生在期初的年金；投资发生在每一周期结束时的，称为发生在期末的年金年金还可以广泛地应用于分期付款、保险计算等领域,9.3 简明实用数学模型,将所有本金的本利和相加，得到年金的终值为,（1）年金的终值 设每期发生在期初的年金数为A ，每期利率为 R，用复利计息的 期末的本利和称为复利年金终值，记为 .,第一期投入的本金A共存了 期，到 第 期末的本利和为,第二期本金 A存了 期，到第 期末的本利和为,第

13、期的本金A只存了一期，本利和为 ,9.3 简明实用数学模型,由 得,故当本金发生在每一期期初时，年金终值模型为,9.3 简明实用数学模型,若本金发生在同一期期末，则年金的终值,故当本金发生在每一期期末时，年金终值模型为,本金发生在期末的情况，在实际情况中常常发生，这类年金也称普通年金. 如每月等额还贷款问题.,9.3 简明实用数学模型,3.模型的应用 【例5】 零存整除，从年初开始，每月初存入100元，按月息0.425复利计算，到年底的本利和为多少？,【解】 这是期初发生的复利年金问题，并且 由年金终值公式，得,即本利和为1211.17元.,9.3 简明实用数学模型,【例6】 投资方案比较。某

14、制药厂贷款进行技术改造，有两种方案： 方案1 投资100万元购置新设备，每年年末可增收20万元 方案2 投资80万元更新部分装置，可节约每年初的16万元检修费 若这些设备使用期均为8年，贷款复利年利率为9%，问哪一种方案经济效益更好,【解】 先来比较8年后投资的收益情况。 按方案1，8年后100万元投资的价值总值成为,9.3 简明实用数学模型,8年后增收的终值为,净收益为,按方案2，8年后的投资价值成为,每年初减少16万元，8年后的终值,方案2的净收益为,由于 ，且方案2的投资更少，所以方案2更好,9.3 简明实用数学模型,【例7】 投资方案比较某厂试制新产品，投产后每年可增加收益10万元为生

15、产此项产品须增加某些设备：若购置这些设备，必须一次付款25万元；若租凭这些设备，每年初付租金3.3万元。若厂方用贷款筹措资金，复利年利率为9.8%，试用现值的观点讨论哪种方案收益更大（假设设备寿命为10年），并计算收益的现值,【解】 按每年（末）增加收益10万元，10年的现值是,9.3 简明实用数学模型,每年初付租金3.3万元的现值为,因此以10年计，购置设备净收益的现值 和租凭设备净收益的现值 分别为,显然，租凭设备的方案更好.,9.3 简明实用数学模型,【例8 】 房屋抵押贷款.某人用贷款购置住房，贷款采用等额本息还款方式，即在10年内每月末向银行归还同一数额的款项.设银行该项贷款月利率为3.6，借款20万元，每月还款为多少？,【解】 每月末的还款可视作发生在期末的年金A ，所有还款的现值等于贷款总额Q .,由年金现值公式,可求得,即得每月还款的计算公式（或分期付款模型）:,9.3 简明实用数学模型,