《实用高等数学电子教案教学课件作者吴云宗第3章极限与连续》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实用高等数学电子教案教学课件作者吴云宗第3章极限与连续（89页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 极限与连续,3.1 从“截丈问题”谈起 3.2 作为变量变化趋势的极限概念 3.3 极限的性质及运算法则 3.4 两个重要极限公式 3.5 无穷小量与无穷大量 3.6 函数的连续性 3.7 案例讨论,【开篇案例】,人的一生都免不 了会生病、打针、吃 药，甚至请求急救， 当病人看完医生拿药 时，药袋（或药瓶） 上总会出现这样的字 样，每4小时服一粒 或一日三次或早、晚各一次，每次1至2片， 病人为何要按时吃药，为何不同的病、不同的 药每天服用的次数及时间间隔不同呢？,第三章 极限与连续,【学习目标】,1. 极限，左、右极限。 2. 无穷小量，无穷大量。 3. 极限的四则运算法则。 等价无
2、穷小替换定理。 4. 两个重要极限。 5. 函数连续性，函数的连续区间。 6. 函数间断点，间断点的类型。 7. 连续的性质。,第三章 极限与连续,3.1 从“截丈问题”谈起,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,-庄子.天下篇,第三章 极限与连续,极限的思想是由于求某些实际问题的精确解 而产生的。,十七世纪主要的科学问题：,1. 研究物体运动状态；,2. 求曲线的切线；,3. 求函数的最大值与最小值；,4. 求曲线长；曲线围成的面积；曲面围成 的体积；物体的重心；物体间的引力,3.1 从“截丈问题”谈起,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,数列的极限,数列就是按照自然数顺序排列的一组数 。,例1
3、考察下列数列，观察其变化趋势,第三章 极限与连续,数列极限的定义,给定一个数列xn,如果当n无限增大时， 其通项无限趋近于某个常数A,则称数列xn 以A为极限,记作,或者,当数列xn以A为极限时,称数列xn收敛 于A；如果通项xn不趋近于任何常数，即数列 xn没有极限，则称数列xn发散。,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,例2根据数列极限的定义，求下列数列的极限,（1）,（2）,解：,（1）,（2）,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,2函数的极限,（） （包括 ）时函数的极限,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,设函数 在 内有定义，如果自变量 无限增大时，函数 无限地接近于常数A， 则称
4、当x趋于 时，以A为极限，记作,或者,定义3.2,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,当只考虑自变量x在一个方向变化情形，如 当 或 时，有 ，这时， 可以称常数A为函数 的广义单侧极限，记作,或者,或者,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,若当x趋于 时，f(x)以A为极限，也称 f(x) 收敛于A。否则，称函数f(x)在 时 是发散的 。,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,定理 3.1,当 时，函数的极限存在的 充要条件是当 时与 时，函数f(x)的极限都存在而且相等。即,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,() 时函数的极限,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,设函数f(x)在点x0的
5、附近（邻域）内 有定义（x0可以除外），当自变量x从 x0 的 左右两侧无限接近x0时，相应地因变量的取 值无限接近于某个常数A，则称常数A为函数 在点x0处的极限。记为,或者,定义3.3,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,当自变量只满足从x0的左侧或者右侧无限 接近x0时，相应地因变量y的取值无限接近于 某个常数A，则称常数A为函数f(x)在x0点处的 单侧极限。,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,定理 3.2,当 时，函数f(x)的极限存 在的充要条件是当 时与 时，函数f(x)的极限都存在而且相等。 即,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,开放讨论题,在体育竞赛中，各项目的世界纪录会
6、否 有极限？如跳高、跳远、100米短跑等哪个变 量为自变量？若有极限，是哪种类型的极限？ 你认为人的极限身高是多少？,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,（1）,解：,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,(2),解：,故,3.2 作为变量变化趋势的极限概念,3.3 极限的性质及运算法则,1极限的性质,性质3.1 极限的唯一性,性质3.2 局部有界性,第三章 极限与连续,性质3.3 局部保号性,3.3 极限的性质及运算法则,性质3.4 两边夹法则,设函数f(x)、g(x)与h(x)在x0的“附近”有定 义，且满足,则,3.3 极限的性质及运算法则,2. 极限的运算法则,（1）,（2）,特别地,（
7、k为常数）,（3）,（4）,3.3 极限的性质及运算法则,例4. 求下列函数的极限,（1）,（ 型）,3.3 极限的性质及运算法则,（2）,（ 型）,3.3 极限的性质及运算法则,练习 就m,n的取值情况讨论下列极限,（ 型）,3.3 极限的性质及运算法则,例5. 求下列函数极限,（1）,型,3.3 极限的性质及运算法则,（2）,型,3.3 极限的性质及运算法则,3.4 两个重要极限公式,第三章 极限与连续,例6. 求下列函数的极限,（1）,3.4 两个重要极限公式,（1）,（2）,习题：,3.4 两个重要极限公式,例7. 求下列函数的极限,（1）,3.4 两个重要极限公式,（2）,3.4 两
8、个重要极限公式,设有一笔本金为P0万元存入银行，年利率 为r。以复利计息，（1）每年计息一次，问到 第t年末，该笔本金的本利和Pt为多少？（2）若 每年计息n次，且n，问到第t年末，该笔本 金的本利和Pt为多少？,例 8 复利及连续复利公式,3.4 两个重要极限公式,分析：按现行银行政策，个人银行存款利 息均按单利计息，如果这样，则这笔本金的到 期本利总和为 Pt=P0(1+tr)；本题要求以复利计 息，若以复利计息，,3.4 两个重要极限公式,第二年末的本利之和为,依此类推，第t年末，该笔本金的本利和Pt为,（1）每年计息一次，则,第一年末的本利之和为,3.4 两个重要极限公式,（2）若每年
9、计息n次，这时每期的利率可 以认为是r/n，t年共计息次数为nt次。用上述 同样方法可以推得,第t年末，该笔本金的本利和Pt为,3.4 两个重要极限公式,思考题,某人现年35岁，有一笔数额为10万元的 闲置资金，如果他将这笔资金投入到某项目， 该项目年收益率为12%，那么，这笔投资到 他65岁退休时本利和将是多少？请分别按单 利、按年复利、按连续复利方式计算本利和。,3.4 两个重要极限公式,案例 3.2 危险气体报警装置设计模型,假设现有瓦斯含量为8%的空气，通过厚度 为10厘米的吸收层后，其瓦斯的含量为2%，问 （1）若通过的吸收层厚度为30厘米，出口 处空气中的瓦斯含量是多少？ （2）若
10、要使出口处空气中瓦斯的含量为1%， 其吸收层的厚度应为多少？,3.4 两个重要极限公式,解：设吸收层厚度为d cm，现将吸收层分成n 小段，每小段吸收层的厚度为 d/n cm，,通过第一小段吸收后，吸收瓦斯的量为 ，,空气中剩余的瓦斯含量为,3.4 两个重要极限公式,通过第二小段吸收后，吸收瓦斯的量为， 空气中剩余的瓦斯含量为,通过第n小段吸收后，吸收瓦斯的量为， 空气中剩余瓦斯含量为,3.4 两个重要极限公式,当 时，即将吸收层无限细分，通 过厚度为d cm 的吸收层后，出口处空气中的瓦 斯含量为：,已知通过厚度为10厘米的吸收层后，其瓦 斯含量为2%,3.4 两个重要极限公式,（1）若通过
11、的吸收层厚度为30 cm，即d=30 cm， 则出口处空气中的瓦斯的含量为,（2）要使出口处空气中瓦斯的含量为1%，则,3.4 两个重要极限公式,3.5 无穷小量与无穷大量,1. 无穷小量的定义,定义 3.4 以零为极限的变量f(x)称为此极限 变化过程中的一个无穷小量。,一般记为,第三章 极限与连续,2. 无穷大量的定义,定义 3.5 在自变量x的某变化过程中，若相 应函数值的绝对值|f(x)|无限增大，则称变量f(x) 为该自变量变化过程中的无穷大量（简称无穷 大），记为,3.5 无穷小量与无穷大量,3. 无穷大与无穷小的关系,在自变量的变化过程中，无穷大的 倒数是无穷小；恒不为0的无穷小
12、的倒 数为无穷大 。,定理 3.3,3.5 无穷小量与无穷大量,例9. 自变量x在怎样的变化过程中，下列 函数为无穷小或无穷大。,（1）,解：,3.5 无穷小量与无穷大量,（2）,解：,3.5 无穷小量与无穷大量,4极限与无穷小的关系,定理 3.4 极限与无穷小的关系定理,3.5 无穷小量与无穷大量,5.无穷小的运算性质,性质3.5 在同一变化过程中，有限个无穷 小的代数和仍是无穷小量。 性质3.6 无穷小与有界函数（包括常数） 的积是无穷小量。 性质3.7 在同一变化过程中，无穷小的乘 积仍是无穷小量。,3.5 无穷小量与无穷大量,6无穷小阶的比较与等价无穷小替代定理,3.5 无穷小量与无穷
13、大量,3.5 无穷小量与无穷大量,定理 3.5 等价无穷小替换定理,3.5 无穷小量与无穷大量,例11 求下列函数的极限,（1）,3.5 无穷小量与无穷大量,（1）,（2）,（3）,习题：,3.5 无穷小量与无穷大量,3.6 函数的连续性,1函数在点x0处的连续性概念,函数增量的概念,第三章 极限与连续,定义3.7 设函数y=f(x)在点x0的“附近”有定义， 如果自变量x在x0的这个“附近”区间内取得的增量 x 趋于零时，函数y=f(x)对应的增量y 也趋于 零，即,或者,则称函数y=f(x)在点x0处连续。,3.6 函数的连续性,定义 3.8 设函数y=f(x)在点x0的“附近”有 定义，
14、如果y=f(x)在 x x0 的变化过程中的 极限存在，且它在点x0处的极限值等于其 函数值，即满足,则称函数f(x)在点x0处连续。,3.6 函数的连续性,2左右连续,如果函数f(x)在点x0处及x0的单侧有定义， 且满足f(x)在点x0处的单侧极限值等于其函数 值，即满足,或,则称函数f(x)在点x0处单侧连续，其中，左极 限值等于其函数值的称为左连续，右极限值 等于其函数值的称为右连续。,3.6 函数的连续性,函数f(x)在点x0处连续必须同时满足三个条件，即,1） f(x)在点x0处及其左右的“附近”有定义；,2）极限 存在；,3）极限 的值等于该点的函数值。,3.6 函数的连续性,凡
15、是不满足以上三条中的任何一条的点都称为f(x)的间断点。,若满足 ，则称x0为f(x) 的可去间断点。,3.6 函数的连续性,若满足 ， 但， 则称x0为f(x)的跳跃间断点。,3.6 函数的连续性,若满足 或 中至少有一个 为 ，则称x0为f(x)的无穷间断点。,3.6 函数的连续性,若满足 既不存在，且左右极限均 不为 ，则称x0为f(x)的震荡间断点。,3.6 函数的连续性,可去间断点与跳跃间断点统称为第一 类间断点，无穷间断点与震荡间断点统称 为第二类间断点。,3.6 函数的连续性,定理 3.6,函数f(x)在点x0处连续的充要条 件是f(x)在点x0处既是左连续，又是 右连续。即,3.6 函数的连续性,讨论,（1）如果函数f(x)在点x0处连续，是否能推 出函数f(x)在点x0处的极限存在 ？,反之，如果函数f(x)在点x0处极限存在， 是否能推出函数f(x)在点x0处连续？,（2）现实生活中哪些变量是连续的？,3.6 函数的连续性,例12讨论下列函数在x=0处的连续性。,（1）,解：,所以 在x=0
