《四川省成都市新都一中数学选修2-3同步测试：第二章 随机变量及其分布 第6课时 离散型随机变量的均值与方差 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省成都市新都一中数学选修2-3同步测试：第二章 随机变量及其分布 第6课时 离散型随机变量的均值与方差 （4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 6 课时 离散型随机变量的均值与方差 基础达标(水平一) 1.某袋中装有除颜色外完全相同的 3 个白球和m个黑球,现从中随机摸取 1 个球,有放回地摸取 5 次,设摸 到的白球数为X,若E(X)=3,则D(X)=( ). A.B.C.D. 8 5 6 5 4 5 2 5 【解析】由题意知XB,因为E(X)=5=3,解得m=2,所以XB,故D(X)=5 = . (5, 3 + 3) 3 + 3 (5, 3 5) 3 5 2 5 6 5 【答案】B 2.设投掷一枚质地均匀的骰子的点数为,则( ). A.E()=,D()= B.E()=,D()= 7 2 49 4 7 2 35 12 C.E()
2、=,D()= D.E()=,D()= 49 4 7 2 49 4 35 16 【解析】由题意知,的可能取值为 1,2,3,4,5,6. P(=1)=P(=2)=P(=3)=P(=4)=P(=5)=P(=6)=, 1 6 E()=1 +2 +3 +4 +5 +6 =, 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 7 2 D()=+4- 2+ + =. (1 7 2) 2 (2 7 2) 2 (3 7 2) 2 7 2 (5 7 2) 2 (6 7 2) 2 1 6 35 12 【答案】B 3.设随机变量的分布列为P(=k)=,k=0,1,2,n,且E()=24,则D()的值为( ). ( 2
3、 3) (1 3) A.8B.12 C.D.16 2 9 【解析】由题意可知B, (, 2 3) E()= n=24,n=36. 2 3 D()=n =36 =8. 2 3 (1 2 3) 2 9 【答案】A 4.某一供电网络有n个用电单位,若每个单位在一天中使用电的机会是p,则供电网络一天中平均用电的单 位个数是( ). A.np(1-p) B.npC.nD.p(1-p) 【解析】由题意知,一天中用电单位的个数X服从二项分布,即XB(n,p),故E(X)=np. 【答案】B 5.甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题,甲做对的概率为 ,乙、丙做对的概率分别为m、n(mn),且 1 2 三位学
4、生是否做对相互独立,记X为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为 X0123 P 1 4 ab 1 24 则X的数学期望为 . 【解析】由题意,得 (1 1 2)(1 )(1 ) = 1 4, 1 2 = 1 24, ? 又mn,解得m=,n= . 1 3 1 4 由题意知,a= + + =, 1 2 2 3 3 4 1 2 1 3 3 4 1 2 2 3 1 4 11 24 b=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1- -= . 1 4 11 24 1 24 1 4 故E(X)=0 +1+2 +3=. 1 4 11 24 1 4 1 24 13 12 【答案】 13 12 6.一个
5、人有n把钥匙,其中只有一把能打开他的房门,他随意地试开,并将打不开房门的钥匙除去,则打开房门 所试开次数X的数学期望是 . 【解析】由于每次打开房门的概率都是 ,因此E(X)=1 +2 +n =. 1 1 1 1 + 1 2 【答案】 + 1 2 7.某市教育与环保部门联合组织该市中学生参加环保知识团体竞赛.根据比赛规则,某中学选拔出 8 名同学 组成参赛队,其中初中部选出的 3 名同学中有 2 名女生;高中部选出的 5 名同学中有 3 名女生.竞赛组委会将 从这 8 名同学中随机选出 4 人参加比赛. (1)设“选出的 4 人中恰有 2 名女生,而且这 2 名女生来自同一个部”为事件A,求事
6、件A的概率P(A); (2)设X为选出的 4 人中女生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望. 【解析】(1)由已知得P(A)=,所以事件A的概率为. 2 2 2 3+ 2 3 2 3 4 8 6 35 6 35 (2)随机变量X的所有可能取值为 1,2,3,4. 由已知得P(X=k)=(k=1,2,3,4). 5 4 3 4 8 所以随机变量X的分布列为 X1234 P 1 14 3 7 3 7 1 14 所以随机变量X的数学期望E(X)=1+2 +3 +4= . 1 14 3 7 3 7 1 14 5 2 拓展提升(水平二) 8.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体切割成 125 个同样大小
7、的小正方体,经过搅拌后,从中随机取出一个 小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的均值为( ). A.B.C.D. 126 125 6 5 168 125 7 5 【解析】X的可能取值为 0,1,2,3. 大正方体 8 个顶点处的 8 个小正方体涂有 3 个面,所以P(X=3)=; 8 125 大正方体每条棱上对应的小正方体除了两个顶点处的还有 3 个,一共 312=36 个小正方体涂有 2 个 面,所以P(X=2)=; 36 125 大正方体每个面上对应的小正方体除去棱上的还有 9 个,一共 96=54 个小正方体涂有 1 个面,所以 P(X=1)=; 54 125 还有 125-(8+36+
8、54)=27 个没有涂漆的小正方体,所以P(X=0)=. 27 125 故E(X)=0+1+2+3= . 27 125 54 125 36 125 8 125 6 5 【答案】B 9.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发 3 次球,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到 3 次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)1.75,则p的取值范 围是( ). A. B.C.D. (0, 7 12) ( 7 12,1) (0, 1 2) ( 1 2,1) 【解析】由已知可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,
9、 则E(X)=1p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+31.75,解得p或p . 5 2 1 2 又p(0,1),所以p. (0, 1 2) 【答案】C 10.已知离散型随机变量X满足P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1x2,若E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为 2 3 1 3 4 3 2 9 . 【解析】由题意得 1 2 3 + 2 1 3 = 4 3, (1 4 3) 22 3 +(2 4 3) 21 3 = 2 9, ? 即 21+ 2= 4, 2(1 4 3) 2+ (2 4 3) 2=2 3, ? 解得或 1= 5 3, 2= 2 3 ? 1= 1, 2= 2
10、. ? x1x2,x1+x2=3. 1= 1, 2= 2, ? 【答案】3 11.从一批产品中抽取 4 件做检验,这 4 件产品中优质品的件数记为n,如果n=3,再从这批产品中任取 4 件做 检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取 1 件做检验,若为优质品,则这批产 品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为 50%,且各件产品是否为优 质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
11、【解析】(1)设“第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品”为事件A,“第二次取出的 4 件产品都是优质 品”为事件B,“第一次取出的 4 件产品中全为优质品”为事件C,“第二次取出的 1 件产品是优质品”为事件 D,“这批产品通过检验”为事件E, P(E)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= + =. 3 4 ( 1 2) 3 1 2 ( 1 2) 4 4 4 ( 1 2) 4 1 2 3 64 (2)X的可能取值为 400,500,800, 并且P(X=400)=1- -=, 3 4 ( 1 2) 3 1 2( 1 2) 4 11 16 P(X=500)=, ( 1 2) 4 1 16 P(X=800)= =, 3 4 ( 1 2) 3 1 2 1 4 X的分布列为 X400500800 P 11 16 1 16 1 4 E(X)=400+500+800 =506.25. 11 16 1 16 1 4
