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1、训练10基本不等式及其应用(参考时间：80分钟)一、填空题1(2012泰州期末)已知abt(a0，b0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t_.2已知x0，y0，且1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是_3若不等式x22axb240恰有一个解，则ab的最大值为_4设ab0，则a2的最小值是_5一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达400 km外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2km，则这批物资全部运送到灾区最少需_h.6(2010山东)若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_7已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最
2、小值是_8已知实数x，s，t满足：8x9ts，且xs，则的最小值为_9若实数x，y满足4x4y2x12y1，则t2x2y的取值范围是_10(2012苏北四市调研)已知ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2b2c284，则实数b的取值范围是_二、解答题11二次函数f(x)ax2bxc的系数均为整数，若，(1,2)，且，是方程f(x)0两个不等的实数根，求最小正整数a的值12某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元今年工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的
3、固定成本为g(n)(k0，k为常数，nZ且n0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)问从今年算起第几年年利润最高？最高年利润为多少万元？13已知函数f(x)(x0)，(1)指出f(x)的单调区间，并进行证明；(2)若x0时，不等式f(x)x恒成立，求实数a的取值范围14(2012南通、泰州、扬州调研)如图，矩形ABCD中，AB3，AD2，一质点从AB边上的点P0出发，沿与AB的夹角为的方向射到边BC上点P1后，依次反射(入射角与反射角相等)到边CD，DA和AB上的P2，P3，P4处(1)若P4与P0重合，求tan 的值；(2)
4、若P4落在A，P0两点之间，且AP02.设tan t，将五边形P0P1P2P3P4的面积S表示为t的函数，并求S的最大值参考答案训练10基本不等式及其应用1解析由基本不等式得ab22，t0，解得t2.答案22解析要使x2ym22m恒成立，主要(x2y)minm22m，而x0，y0，x2y(x2y)1(x2y)48，所以(x2y)min8，m22m8，解得4m2.答案(4,2)3解析因为不等式x22axb240恰有一个解，所以抛物线与x轴相切，即(2a)24(b24)0，化简得a2b24，所以ab2，当且仅当ab或ab时，取等号，即ab的最大值为2.答案24解析a2a2ababa(ab)ab22
5、4.当且仅当a(ab)1且ab1，即a，b时取等号答案45解析时间最短，则两车之间的间距最小，且要安全，则时间t210，当且仅当v80时等号成立答案106解析a恒成立，amax，而(x0)，当且仅当x时，等号成立，a.答案a7解析由题知abxy，cdxy，x0，y0，则4，当且仅当xy时取等号答案48解析由xs和8x9ts得9x9txs0，所以(xs)9(xt)6.答案69解析因为4x4y(2x)2(2y)2t222x2y，所以t222x2y2t，即22x2yt22t，又022x2y22t2，所以0t22tt2，解不等式组得2t4.答案2t410解析因为三边长a，b，c成等差数列，所以2bac
6、，a2b2c284a2c284b2，所以2ac4b2(84b2)5b284，由基本不等式可得2aca2c2，即5b28484b2b228，又a，b，c为ABC的三边长，所以b2(ac)284b2(5b284)1686b2b224，所以24b228，故实数b的取值范围是(2，2答案(2，211解根据条件进行等价转化，再利用二次函数图象直观求解因为，(1,2)，且，是方程f(x)0的两个不等的实数根，所以f(1)0，f(2)0，又二次函数f(x)ax2bxc的系数均为整数，且a0，所以f(1)1，f(2)1，当a最小时，必有f(1)1，f(2)1，即得代入b24ac0中解得a4.又当a5时，满足题
7、意，故最小正整数a的值为5.12解(1)由g(n)，由已知得g(0)8，所以k8，所以f(n)(10010n)100n，(nN)(2)由f(n)(10010n)100n1 000801 000801 000802520.当且仅当，即n8时取等号所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元13解(1)f(x)xa(x0)，f(x)在(0，上为减函数，在，)上为增函数设0x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2).因为0x1x2，所以x1x20,0x1x22，所以f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)故f(x)在(0，上为减函数同理可证，f(x)在，)上为增函数(2)由f(x)x，有xax，
8、xa0，因为x0，所以x22(当且仅当x2时取等号)要使不等式f(x)x对x0恒成立，只需2a0，所以a2即为所求所以实数a的取值范围为(，214解(1)设P0Bx0，则P1Bx0tan ，P1C2x0tan .P2Cx0，P2D3x0.P3D(3x0)tan 2，P3A4(3x0)tan ，AP4(3x0)由于P4与P0重合，AP4P0B3，所以6，即tan .(2)由(1)，可知AP44.因为P4落在A，P0两点之间，所以tan 1，即t1.SS四边形ABCDSP0BP1SP1CP2SP2DP3SP3AP46tan (2tan )(4tan 2)(44tan )3232.由于t1，所以32322324.故S的最大值为324.
