《北师大版九年级数学上思维特训(十四)含答案：反比例函数的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版九年级数学上思维特训(十四)含答案：反比例函数的综合应用（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、思维特训(十四) 反比例函数的综合应用 与反比例函数图象有关的探索问题主要体现在两个方面，一是探索存在性，二是探究图形的形 状及数量关系等解决有关问题需要把反比例函数的图象及图形的性质等综合在一起，还有要注 意一些数学思想的灵活应用 类型一 存在性问题 1如图 14S1，一次函数 yk1xb(k10)与反比例函数 y(k20)的图象相交于点 k2 x A(1，2)，B(m，1) (1)求这两个函数的表达式 (2)在 x 轴上是否存在点 P(n，0)(n0)，使ABP 为等腰三角形？若存在，求出 n 的值；若不存 在，请说明理由 图 14S1 2如图 14S2，一次函数 yx1 的图象与 x 轴
2、、y 轴分别交于点 A，B，以线段 AB 为 3 3 边在第一象限作等边三角形 ABC. (1)若点 C 在反比例函数 y 的图象上，求该反比例函数的表达式 k x (2)点 P(2，m)在第一象限，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，当PAD 与OAB 相似时，P 点 3 是否在(1)中的反比例函数图象上？如果在，求出 P 点的坐标；如果不在，请加以说明 图 14S2 32017牡丹江 已知：如图 14S3，直线 y xb 与 x 轴负半轴交于点 A，与 y 轴正半轴 1 2 交于点 B，线段 OA 的长是方程 x27x80 的一个根，请解答下列问题： (1)求点 B 的坐标 (2)双曲
3、线 y (k0，x0)与直线 AB 交于点 C，且 AC5，求 k 的值 k x5 (3)在(2)的条件下，点 E 在线段 AB 上，AE，直线 ly 轴，垂足为 P(0，7)，点 M 在直线 l 上， 5 坐标平面内是否存在点 N，使以点 C，E，M，N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 图 14S3 类型二 探索关系问题 4如图 14S4，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y (x0)的图象与直线 yx2 相交于点 k x A(3，m) (1)求 k，m 的值 (2)已知点 P(n，n)(n0)，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 yx2
4、 于点 M，过点 P 作平行 于 y 轴的直线，交函数 y (x0)的图象于点 N. k x 当 n1 时，判断线段 PM 与 PN 的数量关系，并说明理由； 若 PNPM，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围 图 14S4 52017德州 有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 y x 与 y (k0)的图象的性质 1 k k x 小明根据学习函数的经验，对函数 y x 与 y ，当 k0 时的图象性质进行了探究 1 k k x 下面是小明的探究过程： (1)如图 14S5 所示，设函数 y x 与 y (k0)图象的交点为 A，B，已知点 A 的坐标为 1
5、 k k x (k，1)，则点 B 的坐标为_； (2)若 P 为第一象限内双曲线上不同于点 B 的任意一点 设直线 PA 交 x 轴于点 M，直线 PB 交 x 轴于点 N.求证：PMPN. 证明过程如下：设 P(m， )，直线 PA 的函数表达式为 yaxb(a0) k m 则解得 kab1， mab k m， ) a ， b ，) 直线 PA 的函数表达式为_ 请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明 当 P 点坐标为(1，k)(k1)时，判断PAB 的形状，并用含 k 的式子表示出PAB 的面积 图 14S5 详解详析详解详析 1解：(1)把 A(1，2)代入 y，得到 k22，
6、 k2 x 反比例函数的表达式为 y . 2 x 点 B(m，1)在反比例函数 y 的图象上， 2 x m2，由题意得点 A(1，2)，B(2，1)在一次函数 yk1xb 的图象上， k1b2， 2k1b1，) 解得 k11， b11， ) 一次函数的表达式为 yx1. (2)A(1，2)，B(2，1)，AB3. 2 当 PAPB 时，(n1)222(n2)21， n0.n0，n0 不合题意，舍去； 当 APAB 时，22(n1)2(3)2. 2 n0，n1； 14 当 BPBA 时，12(n2)2(3)2. 2 n0，n2. 17 综上所述，n1或 2. 1417 2解：(1)在 yx1 中
7、，令 y0 可得 x，令 x0 可得 y1，A(，0)，B(0，1)， 3 333 BAO30. ABC 是等边三角形，BAC60， CAO90. 在 RtBOA 中，由勾股定理可得 AB2， AC2，C(，2) 3 点 C 在反比例函数 y 的图象上，k22，反比例函数的表达式为 y. k x33 2 3 x (2)点 P(2，m)在第一象限，ADODOA2，PDm. 3333 当ADPAOB 时，则有，即 ，解得 m1，此时 P 点坐标为(2，1)； PD OB AD OA m 1 3 33 当PDAAOB 时，则有， PD OA AD OB 即，解得 m3， m 3 3 1 此时 P 点
8、坐标为(2，3) 3 把 P(2，3)代入 y可得 3，点 P(2，3)不在反比例函数图象上； 3 2 3 x 2 3 2 33 把 P(2，1)代入 y可得 1，点 P(2，1)在反比例函数图象上 3 2 3 x 2 3 2 33 综上可知，P 点坐标为(2，1) 3 3解：(1)解方程 x27x80 得 x8 或 x1. 线段 OA 的长是方程 x27x80 的一个根，OA8，A(8，0) 将 A(8，0)代入 y xb，得4b0， 1 2 b4，B(0，4) (2)在 RtAOB 中，OA8，OB4，AB4. 5 如图，过点 C 作 CHx 轴于点 H， 则 CHOB，AOBAHC， ，
9、即， OB CH AB AC OA AH 4 CH 4 5 5 5 8 AH 解得 CH5，AH10， OH1082，C(2，5) 双曲线 y (k0，x0)经过点 C， k x k2510. (3)存在，分两种情况： 当 CE 为以点 C，E，M，N 为顶点的矩形的一边时，过点 E 作 EGx 轴于点 G，作 EMAC 交直线 l 于点 M，如图所示，EGOB， AGEAOB， ， EG OB AG AO AE AB 5 4 5 1 4 EG OB1，AG AO2， 1 4 1 4 OG826，E(6，1) EMAC，设直线 EM 的函数表达式为 y2xc，把 E(6，1)代入，得 12c1
10、， 解得 c11，直线 EM 的函数表达式为 y2x11，当 y7 时，72x11，x9， M(9，7) C(2，5)，点 N 的坐标为(1，11)； 当 CE 为以点 C，E，M，N 为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点 N 的坐标为 (7，3)； 当 CE 为以点 C，E，M，N 为顶点的矩形的对角线时，分别过点 E，C 作 EGl 于点 G，CHl 于点 H，如图所示，则EGMMHC90，EG716，CH752. 四边形 EMCN 是矩形，EMC90，由角的互余关系得GEMHMC， EGMMHC， GM CH EG MH GMMHCHEG2612. 又GMMH628，GM2，M
11、H6， 点 M 的坐标为(4，7) E(6，1)，C(2，5)，N(0，1)； 当 CE 为以点 C，E，M，N 为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点 N 的坐标为 (4，1) 综上所述，存在点 N，使以点 C，E，M，N 为顶点的四边形是矩形，点 N 的坐标为(1，11)或 (7，3)或 (4，1)或(0，1) 4解：(1)将 A(3，m)代入 yx2，得 m321，A(3，1)将 A(3，1)代入 y ，得 k x k313. (2)PMPN.理由：当 n1 时，P(1，1)，把 y1 代入 yx2，得 x21，x3，M(3，1)， PM2.把 x1 代入 y ，得 y3， 3
12、 x N(1，3)，PN2，PMPN. P(n，n)，点 P 在直线 yx 上，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 yx2 于点 M， M(n2，n)，PM2.同理可得 PN| n|.PNPM，即 PN2，即|3n2|2n， 3 n 即或 3n2 2n， 3n2 0，) n23 2n， n23 0，) 解得 0n1 或 n3. 5解：(1)由正、反比例函数图象的对称性可知，点 A，B 关于原点 O 对称， 点 A 的坐标为(k，1)， 点 B 的坐标为(k，1) (2)证明过程如下，设 P(m， )，直线 PA 的函数表达式为 yaxb(a0) k m 则解得 kab1， mab k m
13、， ) a 1 m， b k m1，) 直线 PA 的函数表达式为 y x 1. 1 m k m 当 y0 时，xmk， 点 M 的坐标为(mk，0) 过点 P 作 PHx 轴于点 H，如图所示，点 P 的坐标为(m， )，点 H 的坐标为(m，0)， k m MHxHxMm(mk)k.同理可得 HNk，PMPN. 由可知，在PMN 中，PMPN，PMN 为等腰三角形，且 MHHNk. 当 P 点坐标为(1，k)时，PHk，MHHNPH，PMHMPH45， PNHNPH45， MPN90，即APB90，PAB 为直角三角形 当 k1 时，如图，SPABSPMNSOBNS OAM MNPH ONyB OM|yA| 2kk (k1)1 (k1)1k21； 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 当 0k1 时，如图，SPABSOBNSPMNSOAM ONyBk2 OM|yA| (k1) 1 2 1 2 1 2 1k2 (1k)11k2. 1 2
