《2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质学案新人教A版选修1_》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质学案新人教A版选修1_（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.22.2.2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的 意义(难点) 自 主 预 习探 新 知 1双曲线的几何性质 标准方程 1 x2 a2 y2 b2 (a0，b0) 1 y2 a2 x2 b2 (a0，b0) 图形 范围xa或xaya或ya 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a) 轴长实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e 1 c a 性 质 渐近线 yx b a yx a b 思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ (2)双曲线的离心率和渐近线的斜
2、率有怎样的关系？ 提示 (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同 (2)e21， 是渐近线的斜率或其倒数 c2 a2 b2 a2 b a 2双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心 (2)等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e. 2 基础自测 1思考辨析 (1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点( ) (2)等轴双曲线的渐近线是yx.( ) (3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长( ) 答案 (1) (2) (3) 2双曲线y21 的顶点坐标是( ) x2 16 A(4,0)，(0,1) B(4,0)，(4,0
3、) C(0,1)，(0，1) D(4,0)，(0，1) B B 由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a4，因此双曲线的顶点坐标是(4,0)， (4,0) 3若双曲线1(m0)的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是 x2 4 y2 m 3 2 _. 【导学号：97792087】 (，0)，(，0) 由双曲线方程得出其渐近线方程为yx，m3，求得 77 m 2 双曲线方程为1，从而得到焦点坐标为(，0)，(，0) x2 4 y2 377 合 作 探 究攻 重 难 根据双曲线方程研究几何性质 (1)已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为 x2 a2 y2 b2 1，C1与C2的离心率之积
4、为，则C2的渐近线方程为( ) x2 a2 y2 b2 3 2 Axy0 B.xy0 22 Cx2y0 D2xy0 (2)求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、 顶点坐标和渐近线方程 解 (1)椭圆C1的离心率e1，双曲线C2的离心率e2.由e1e2 a2b2 a a2b2 a ，解得 ，所以 ，所以双曲线C2的渐近线 a2b2 a a2b2 a 3 2 ( b a) 2 1 2 b a 2 2 方程是yx，即xy0. 2 22 答案 A (2)把方程nx2my2mn(m0，n0)， 化为标准方程1(m0，n0)， x2 m y2 n 由此可知，实半轴长
5、a，虚半轴长b，c， mnmn 焦点坐标为(，0)，(，0)， mnmn 离心率e . c a mn m 1n m 顶点坐标为(，0)，(，0) mm 渐近线的方程为yxx. n m mn m 规律方法 由双曲线的方程研究几何 性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键 (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值 (3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置 跟踪训练 1(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是( ) Ax21 B.y21 y2 4 x2 4 C.x21 Dy21 y2 4 x2 4 C C A
6、、B 选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D 选项中双曲线的焦点在y轴上， 令x20，得y2x；令y20，得yx.故选 C. y2 4 x2 4 1 2 (2)若双曲线1 的离心率为，则其渐近线方程为( ) x2 a2 y2 b23 Ay2x Byx 2 Cyx Dyx 1 2 2 2 B B 在双曲线中，离心率e ，可得 ，故所求的双曲线的渐近线方 c a3 b a2 程是yx. 2 利用几何性质求双曲线方程 (1)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上， x2 a2 y2 b2 OAF是边长为 2 的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( ) A.1 B.1
7、 x2 4 y2 12 x2 12 y2 4 C.y21 Dx21 x2 3 y2 3 (2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)的双曲线方程为_. 1 2 【导学号：97792088】 思路探究 (1)OAF是边长为 2 的等边三角形求c和点A的坐标渐近线的斜率 求a，b (2)方法一：分焦点在x轴和y轴上两种情况求解 方法二：待定系数法求解 解析 (1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c2，点A的坐标为(1，)，所以 3 ，又c2a2b2，所以a21，b23，故所求双曲线的方程为x21，故选 D. b a3 y2 3 (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为yx， 1 2 若焦点在x轴上，设
8、所求双曲线的标准方程为： 1(a0，b0)，则 . x2 a2 y2 b2 b a 1 2 因为点A(2，3)在双曲线上， 所以1. 4 a2 9 b2 联立，无解 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，则 . y2 a2 x2 b2 a b 1 2 因为点A(2，3)在双曲线上， 所以1. 9 a2 4 b2 联立，解得a28，b232. 故所求双曲线的标准方程为1. y2 8 x2 32 法二：由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为y2(0) 1 2 x2 22 因为点A(2，3)在双曲线上， 所以(3)2，即8. 22 22 故所求双曲线的标准方程为1. y
9、2 8 x2 32 答案 (1)D (2)1 y2 8 x2 32 规律方法 1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本 量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法首先依据焦点的位置设出标准 方程的形式，再由题目条件确定参数的值当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式， 此时应注意分类讨论，防止漏解为了避免讨论，也可设方程为mx2ny21(mn0)，从而 直接求解 2常见双曲线方程的设法 (1)渐近线为yx的双曲线方程可设为(0，m0，n0)；如果两条 n m x2 m2 y2 n2 渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为A2x2B2y2m(m0，A0，
10、B0) (2)与双曲线1 或1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为 x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 或(0) x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 (3)与双曲线1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为 x2 a2 y2 b2 (0)或(0)，这是因为离心率不能确定焦点位置 x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 跟踪训练 2求满足下列条件的双曲线的标准方程； (1)以直线 2x3y0 为渐近线，过点(1,2)； (2)与双曲线1 具有相同的渐近线，且过点M(3，2)； y2 4 x2 3 (3)过点(2,0)，与双曲线1 离心率相等； y2 64
11、x2 16 解 (1)由题意可设所求双曲线方程为 4x29y2(0)，将点(1,2)的坐标代入 方程解得32. 因此所求双曲线的标准方程为1. y2 32 9 x2 8 (2)设所求双曲线方程为(0) y2 4 x2 3 由点M(3，2)在双曲线上得 ，得2. 4 4 9 3 故所求双曲线的标准方程为1. x2 6 y2 8 (3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的 x2 64 y2 16 坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21； 1 16 x2 4 当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标 y2 64 x2 16 代入方程
12、得 0，b0)，不妨设点M在 x2 a2 y2 b2 双曲线的右支上，如图，ABBM2a，MBA120，作 MHx轴于H，则MBH60，BHa，MHa，所以M(2a， 3 a)将点M的坐标代入双曲线方程1，得ab，所 3 x2 a2 y2 b2 以e.故选 D. 2 答案 (1)D (2)D 规律方法 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e 得解. c a (2)若已知a，b，可直接利用e得解. (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)， 则转化为关于e的方程pe2qer0 求解. 跟踪训练 3(1)设F1，F2分别为双曲线1(a0
13、，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一 x2 a2 y2 b2 点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为( ) 9 4 A. B. C. D3 4 3 5 3 9 4 B B 考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|PF2|2a，而 |PF1|PF2|3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|PF2|.又已知 9b24a2 4 |PF1|PF2|ab，ab，得 (负值舍去)该双曲线的离心率e 9 4 9 4 9b24a2 4 b a 4 3 c a . 5 3 (2)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C x2 a2
14、 y2 b2 于点P.若点P的横坐标为 2a，则C的离心率为_ 2 如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标 2a代入1 3 x2 a2 y2 b2 中，得y23b2， 不妨令点P的坐标为(2a，b)， 3 此时kPF2 ， 3b c2a b a 得到c(2)a， 3 即双曲线C的离心率e 2. c a3 直线与双曲线的位置关系 探究问题 1直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？ 提示：可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一 个交点 2过点(0,2)和双曲线1 只有一个公共点的直线有几条？ x2 16 y2 9 提示：四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线 已知双曲线C：x2y21 及直线l：ykx1， (1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数 2 k的值 思路探究 直线方程与双曲线方程联立方程组判断“”与“0”的关系直线与 双曲线的位置关系 解 (1)联立方程组Error! 消去y并整理得(1k2)x22kx20. 直线与双曲线有两个不同的交点， 则Error! 解得k，且k1. 22 若l与C有两个不同交点，实数k的
