《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.4.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.4.2 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4.2 抛物线的简单几何性质 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 抛物线 2y=3x2的准线方程为( ) A.y=-B.y=- 1 6 1 4 C.y=-D.y=-1 1 2 解析:抛物线的标准方程为 x2= y, 2 3 准线方程为 y=- . 1 6 答案:A 2 以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点,且与 x 轴垂直的弦)长为 8,若抛物线的顶点在坐标原 点,则其方程为( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x 或 y2=-8x D.x2=8y 或 x2=-8y 解析:抛物线的通径为 2p=8,且以 x 轴为对称轴, 其方程为 y2=8x 或 y2=-8x. 答
2、案:C 3 顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程是( ) A.x2=3yB.y2=6x C.x2=12yD.x2=6y 答案:C 4 如图,已知点 Q(2,0)及抛物线 y= 上的动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是( ) 2 2 4 A.2 B.3 C.4 D.2 2 解析:如图所示,过点 P 作 PM 垂直抛物线的准线于点 M, 则由抛物线的定义可知 y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1, 当且仅当 P,F,Q 三点共线时,|PF|+|PQ|最小,由 F(0,1),Q(2,0),得最小值为|QF|= 2 =3. (
3、2 2 - 0)2+ (0 - 1)2 故 y+|PQ|的最小值为 3-1=2. 答案:A 5 过抛物线 y2=2px(p0)的焦点作一条直线,交抛物线于点 A(x1,y1),B(x2,y2),则为( ) 12 12 A.4B.-4 C.p2D.-p2 解析:(方法一)特例法:当直线垂直于 x 轴时,A,B=-4. ( 2 , ) ( 2 , - ), 12 12 = - 2 2 4 (方法二)由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得 y1y2=-p2,则=-4. 12 12 = 1 2 2 1 2 2 2 2 = 42 12 = 42 - 2 答案:B 6 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶
4、点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点 的距离为 3,则|OM|=( ) A.2B.2 23 C.4D.2 5 解析:由抛物线定义,知 +2=3,即 p=2,抛物线方程为 y2=4x.因为点 M(2,y0)在抛物线上,所以 y0=2, 22 故|OM|=2. 4 + 2 03 答案:B 7 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过点 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为( ) A.y=x-1 或 y=-x+1 B.y=(x-1)或 y=-(x-1) 3 3 3 3 C.y=(x-1)或 y=-(x-1) 33 D
5、.y=(x-1)或 y=-(x-1) 2 2 2 2 答案:C 8 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=7,则 AB 的中点 M 到抛 物线准线的距离为 . 解析:抛物线的焦点为(1,0),准线方程为 x=-1,p=2. 由抛物线的定义,知|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p,即 x1+x2+p=7, 2 2 故 x1+x2=5. 于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 , 5 2 因此点 M 到抛物线准线的距离为 +1= . 5 2 7 2 答案: 7 2 9 若双曲线=1(p0)的左焦点在抛物线 y2=
6、2px 的准线上,则 p= . 2 3 162 2 答案:4 10 求抛物线 y=x2上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离. 解:设抛物线 y=x2上一点 P(x0,y0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 d, 则 d= | 0 - 0- 2| 2 = | 2 0 - 0 + 2| 2 =. 1 2|(0 - 1 2) 2 + 7 4| 当 x0= 时,dmin=. 1 2 7 2 8 11 过点(-3,2)的直线与抛物线 y2=4x 只有一个公共点,求此直线方程. 解:因为当 k 不存在时,直线方程为 x=-3 与抛物线无交点,所以直线斜率 k 存在,设直线方程为 y- 2=k(x+
7、3), 由消去 x,整理得 - 2 = ( + 3), 2= 4, ? ky2-4y+8+12k=0. (1)当 k=0 时,方程化为-4y+8=0,即 y=2, 此时过点(-3,2)的直线方程为 y=2,满足条件. (2)当 k0 时,方程应有两个相等的实根, 所以 0, = 0, ? 即 0, 16 - 4(8 + 12) = 0, ? 解得 k= 或 k=-1. 1 3 则直线方程为 y-2= (x+3)或 y-2=-(x+3), 1 3 即 x-3y+9=0 或 x+y+1=0. 由(1)(2)可知所求直线有三条,其方程分别为 y=2 或 x-3y+9=0 或 x+y+1=0. 能力提
8、升能力提升 1 已知直线 y=kx-k 及抛物线 y2=2px(p0),则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 解析:直线 y=kx-k=k(x-1), 直线过点(1,0). 又点(1,0)在抛物线 y2=2px 的内部, 当 k=0 时,直线与抛物线有一个公共点;当 k0 时,直线与抛物线有两个公共点. 答案:C 2 直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y2=x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的中点到直线 x+ =0 的距离 1 2 等于( ) A.B.2C.D.4 7 4
9、9 4 解析:直线 4kx-4y-k=0, 即 y=k,即直线 4kx-4y-k=0 过抛物线 y2=x 的焦点. ( - 1 4) ( 1 4 ,0 ) 设 A(x1,y2),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+ =4,即 x1+x2= , 1 2 7 2 则弦 AB 的中点的横坐标是 ,故弦 AB 的中点到直线 x+ =0 的距离是. 7 4 1 2 7 4 + 1 2 = 9 4 答案:C 3 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上,且|AK|=|AF|,则AFK 2 的面积为( ) A.4B.8C.16D.32 解析:抛物线 C:
10、y2=8x 的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2,K(-2,0). 设 A(x0,y0),如图所示,过点 A 向准线作垂线,垂足为 B, 则 B(-2,y0). |AK|=|AF|, 2 且|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2, 由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得=(x0+2)2, 2 0 即 8x0=(x0+2)2,解得 x0=2, y0=4. AFK 的面积为 |KF|y0|= 44=8. 1 2 1 2 答案:B 4 过抛物线 y= x2的准线上任意一点作抛物线的两条切线,若切点分别为 M,N,则直线 MN 过定点( ) 1 4 A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1
11、,0)D.(0,1) 解析:y= x2可化为 x2=4y,则抛物线的准线方程为 y=-1.取准线上的特殊点(0,-1),并设过点(0,-1)与抛物 1 4 线相切的切线方程为 y+1=kx,代入到 x2=4y 中并消去 y,得 x2-4kx+4=0.令 =(-4k)2-16=0,则 k=1.求 得 M,N 的坐标分别为(2,1),(-2,1).结合选项可知直线 MN 必过点(0,1). 答案:D 5 若抛物线过点(1,2),则抛物线的标准方程为 . 解析:当焦点在 x 轴正半轴时,设其方程为 y2=2p1x(p10), 则 4=2p1,即 p1=2, 故抛物线的标准方程为 y2=4x. 当焦点
12、在 y 轴正半轴时,设其方程为 x2=2p2y(p20),则 1=4p2,即 p2= , 1 4 故抛物线的标准方程为 x2= y. 1 2 答案:y2=4x 或 x2= y 1 2 6 设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则点 B 到该抛物 线准线的距离为 . 解析:如图所示, 由已知可得点 B在抛物线 y2=2px 上, ( 4 ,1 ) 即 1=2p ,故 p=. 42 故 B,准线为 x=-. ( 2 4 ,1 ) 2 2 因此,点 B 到准线的距离为. 3 2 4 答案: 3 2 4 7 抛物线 y=-x2上的点到直线
13、4x+3y-8=0 的距离的最小值是 . 解析:设 P(x,-x2)为抛物线上任一点, 则点 P 到直线 4x+3y-8=0 的距离 d=|-3x2+4x-8| |4 + 3( - 2) - 8| 42+ 32 = 1 5 =, 1 5| - 3 ( - 2 3) 2 - 20 3| 故当 x= 时,d 取最小值,为. 2 3 1 5 20 3 = 4 3 答案: 4 3 8 过点 A(-2,-4)作倾斜角为 的直线,交抛物线 y2=2px(p0)于 M,N 两点,且|AM|,|MN|,|AN|成等比数 4 列,求抛物线的方程. 解:设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则由题意知 MN
14、的方程为 y=x-2. 由消去 x,得 y2-2py-4p=0, = - 2, 2= 2, ? 故 y1+y2=2p,y1y2=-4p. 又根据|AM|AN|=|MN|2, 可得(y1+4)(y2+4)=(y1-y2)2, 即 5y1y2+4(y1+y2)+16=(y1+y2)2, 即 p2+3p-4=0,解得 p=1 或 p=-4(舍去). 故所求抛物线的方程为 y2=2x. 9 已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A,B 两点. (1)求证:OAOB. (2)当OAB 的面积等于时,求 k 的值. 10 (1)证明如图所示, 由 2= - , = ( + 1), ? 消
15、去 x 得,ky2+y-k=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1y2=-1,y1+y2=- . 1 因为 A,B 在抛物线 y2=-x 上, 所以=-x1,=-x2. 2 1 2 2 所以=x1x2. 2 1 2 2 因为 kOAkOB=-1, 1 1 2 2 = 12 12 = 1 12 所以 OAOB. (2)解:设直线与 x 轴交于点 N,显然 k0. 令 y=0,得 x=-1,即 N(-1,0). 因为 SOAB=SOAN+SOBN = |ON|y1|+ |ON|y2| 1 2 1 2 = |ON|y1-y2|, 1 2 所以 SOAB= 1 1 2 ( 1+ 2) 2 - 4 12 =. 1 2 (- 1 ) 2 + 4 因为 SOAB=, 10 所以,解得 k=. 10 = 1 2 1 2 + 4 1 6 10 已知 A,B 是抛物线 x2=2py(p0)上的两个动点,O 为坐标原点,非零向量满足 , |=|. + (1)求证:直线 AB 经过一定点; (2)当线段 AB 的中点到直线
