《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.3.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.3.1 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 双曲线双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 已知双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( ) A.B.C.D.(,0) ( 2 2 ,0 )( 5 2 ,0 )( 6 2 ,0 ) 3 解析:双曲线方程化为标准方程为 x2- =1, 2 1 2 a2=1,b2= .c2=a2+b2= . 1 2 3 2 c=,故右焦点坐标为. 6 2 ( 6 2 ,0 ) 答案:C 2 若双曲线=1 与椭圆=1 有共同的焦点,且 a0,则 a 的值为( ) 2 2 2 5 2 25 + 2 16 A.2B.C.D.6 1446 解析:椭圆=1 的焦
2、点坐标为(3,0), 2 25 + 2 16 a2+5=9,a2=4.a0,a=2. 答案:A 3 若方程=1 表示双曲线,则实数 m 的取值范围是( ) 2 4 2 + 1 A.-1-1 C.m3D.m0,m-1. 答案:B 4 已知双曲线的一个焦点坐标为(,0),且经过点(-5,2),则双曲线的标准方程为( ) 6 A. -y2=1B. -x2=1 2 5 2 5 C.-y2=1D.=1 2 25 2 4 2 2 答案:A 5 平面内有两个定点 F1(-5,0)和 F2(5,0),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=6,则动点 P 的轨迹方程是( ) A.=1(x-4)B.=1(x-3)
3、 2 16 2 9 2 9 2 16 C.=1(x4)D.=1(x3) 2 16 2 9 2 9 2 16 答案:D 6 已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 F1(-,0),点 P 位于该双曲线上,线段 PF1的中点坐 5 标为(0,2),则该双曲线的标准方程是 . 答案:x2- =1 2 4 7 已知双曲线=1 上一点 M 的横坐标为 5,则点 M 到左焦点的距离是 . 2 9 2 16 答案: 34 3 8 已知双曲线的两个焦点 F1(-,0),F2(,0),P 是双曲线上一点,且=0,|PF1|PF2|=2,则双 55 12 曲线的标准方程为 . 答案:-y2=1 2 4 9 已知双曲
4、线的实半轴长 a=4,且经过点 A,求双曲线的标准方程. ( 1, 4 10 3 ) 解:若设所求双曲线方程为=1(a0,b0),则将 a=4 代入,得=1. 2 2 2 2 2 16 2 2 又点 A在双曲线上,=1. ( 1, 4 10 3 ) 1 16 160 92 由此得 b20,b0), 2 2 2 2 则将 a=4 代入,得=1, 2 16 2 2 代入点 A,得 b2=9, ( 1, 4 10 3 ) 故双曲线的标准方程为=1. 2 16 2 9 10 已知 F1,F2是双曲线=1 的两个焦点,若 P 是双曲线左支上的点,且|PF1|PF2|=32.试求 2 9 2 16 F1P
5、F2的面积. 解:因为 P 是双曲线左支上的点, 所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36. 所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|PF2|=36+232=100. 在F1PF2中,由余弦定理, 得 cosF1PF2= | 1| 2+ | 2| 2 - | 12| 2 2|1|2| =0,所以F1PF2=90. 100 - 100 2|1|2| 所以|PF1|PF2|= 32=16. 12 = 1 2 1 2 能力提升能力提升 1 已知 F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a,当 a
6、=3 和 a=5 时,点 P 的轨迹分别为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线 C.双曲线和一条射线 D.双曲线的一支和一条射线 解析:|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,当 a=3 时,2a=63”是“方程=1 表示双曲线”的( ) 2 3 - + 2 - 1 A.充分不必要条件B.充要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 解析:当 k3 时,3-k0,此时方程=1 表示双曲线. 2 3 - + 2 - 1 反之,若方程=1 表示双曲线,则有(3-k)(k-1)3 或 k3”是“方程 2 3 - + 2 - 1 =1 表示双曲线”的充分不必要条件
7、. 2 3 - + 2 - 1 答案:A 4 已知 F1,F2为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cosF1PF2=( ) A.B.C.D. 1 4 3 5 3 4 4 5 解析:由题意可知,a=b,则 c=2. 2 设|PF1|=2x,|PF2|=x, 则|PF1|-|PF2|=x=2a=2, 2 故|PF1|=4,|PF2|=2,|F1F2|=4. 22 利用余弦定理, 得 cosF1PF2= | 1| 2+ | 2| 2 - | 12| 2 2|1|2| =. (4 2)2+ (2 2)2 - 4 2 2 2 2 4 2 =
8、 3 4 答案:C 5 已知点 F1,F2分别是双曲线=1(a0)的左、右焦点,P 是该双曲线上的一点,且 2 2 2 9 |PF1|=2|PF2|=16,则PF1F2的周长是 . 解析:|PF1|=2|PF2|=16, |PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,a=4. 又b2=9,c2=25,2c=10. PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34. 答案:34 6 已知 F 是双曲线=1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 . 2 4 2 12 解析:如图,已知 F(-4,0),设 F为双曲线的右焦点,则
9、F(4,0),点 A(1,4)在双曲线两支之间.由双曲线的定 义,得|PF|-|PF|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF|+|PA|4+|AF|=4+5=9. 当且仅当 A,P,F三点共线时,取等号. 答案:9 7 动圆 C 与定圆 C1:(x+3)2+y2=9,C2:(x-3)2+y2=1 都外切,求动圆圆心 C 的轨迹方程. 解:如图,由题意,得定圆圆心 C1(-3,0),C2(3,0),半径 r1=3,r2=1,设动圆圆心为 C(x,y),半径为 r,则 |CC1|=r+3,|CC2|=r+1. 两式相减,得|CC1|-|CC2|=2, 则点 C 的轨迹为以 C1,C2为焦点
10、,实轴长为 2 的双曲线的右支.a=1,c=3,b2=c2-a2=8. 方程为 x2- =1(x1). 2 8 8 已知 F1,F2为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上,F1PF2=60,求点 P 到 x 轴 的距离. 解:因为|PF1|-|PF2|=2, 所以|PF1|2-2|PF1|PF2|+|PF2|2=4, 所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|PF2|, 由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|PF2|cos 60, 得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|PF2|, 又 a=1,b=1,所以 c=
11、, 2+ 2= 2 所以|F1F2|=2c=2, 2 所以 4+2|PF1|PF2|=|PF1|PF2|+8, 所以|PF1|PF2|=4. 设点 P 到 x 轴的距离为|y0|, |PF1|PF2|sin 60= |F1F2|y0|, 12 = 1 2 1 2 所以 42|y0|. 1 2 3 2 = 1 22 所以|y0|=,即点 P 到 x 轴的距离为. 3 2 = 6 2 6 2 9 某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点 A,B,C 的报告: 正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声,正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点 晚 4 s,已知各观测点
12、到该中心的距离都是 1 020 m,试确定该枚炮弹的袭击位置.(声音的传播速度为 340 m/s,相关各点均在同一平面内) 解:如图,以指挥中心为原点,正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系, 则 A(-1 020,0),B(1 020,0),C(0,1 020). 设 P(x,y)为炮弹的袭击位置, 则|PB|-|PA|=3404|AB|. 由双曲线的定义,知点 P 在以 A,B 为焦点的双曲线的左支上,且 a=680,c=1 020, 故 b2=1 0202-6802=53402. 因此,双曲线方程为 =1(x-680). 2 6802 2 5 3402 又|PA|=|PC|,因此点 P 在直线 y=-x 上, 把 y=-x 代入式,得 x=-680. 5 所以 P(-680,680),|OP|=680(m). 5510 故该枚炮弹的袭击位置在北偏西 45,距指挥中心 680 m 处. 10
