《2018年秋高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学案新人教A版选修1_1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018年秋高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学案新人教A版选修1_1(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.21.1.2 四种命题四种命题 1.1.31.1.3 四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系 学习目标:1.了解四种命题的概念,能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题(重 点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系(易混点)3.会利用命题的等价 性解决问题(难点) 自 主 预 习探 新 知 1四种命题的概念及表示形式 名称定义表示形式 互逆 命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是 另一个命题的结论和条件,那么这样的两个命题叫 做互逆命题其中一个命题叫做原命题,另一个叫 做原命题的逆命题. 原命题为“若p,则q” ;逆 命题为“若q,则p” 互否 命题 对于两个
2、命题,其中一个命题的条件和结论恰好是 另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两 个命题叫做互否命题如果把其中的一个命题叫做 原命题,那么另一个叫做原命题的否命题 原命题为“若p,则q” ;否 命题为“若p,则q” 互为 逆否 命题 对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是 另一个命题的结论的否定和条件的否定,这样的两 个命题叫做互为逆否命题如果把其中的一个命题 叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题 原命题为“若p,则q” ;逆 否命题为“若q,则p” 2.四种命题间的相互关系 (1)四种命题之间的关系 (2)四种命题间的真假关系 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假
3、真真假 假假假假 由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系: 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系 思考:(1)“abc0”的否定是什么? (2)在原命题,逆命题、否命题和逆否命题四个命题中真命题的个数会是奇数吗? 提示 (1)“abc0”的否定是“a,b,c至少有一个不等于 0” (2)真命题的个数只能是 0,2,4,不会是奇数 基础自测 1思考辨析 (1)命题“若p,则q”的否命题为“若p,则q” ( ) (2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题( ) (3)命题“若ABA,则ABB”的逆否命题是“若ABB,则ABA”
4、( ) 答案 (1) (2) (3) 2命题“若一个数是负数,则它的相反数是正数”的逆命题是( ) A “若一个数是负数,则它的相反数不是正数” B “若一个数的相反数是正数,则它是负数” C “若一个数不是负数,则它的相反数不是正数” D “若一个数的相反数不是正数,则它不是负数” B B 根据逆命题的定义知,选 B. 3命题“若m10,则m2100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真 命题是( ) 【导学号:97792008】 A原命题、否命题 B原命题、逆命题 C原命题、逆否命题 D逆命题、否命题 C C 原命题正确,则逆否命题正确,逆命题不正确,从而否命题不正确故选 C. 合
5、 作 探 究攻 重 难 四种命题 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题和逆 否命题 (1)相似三角形对应的角相等; (2)当x3 时,x24x30; (3)正方形的对角线互相平分 解 (1)原命题:若两个三角形相似,则这两个三角形的三个角对应相等; 逆命题:若两个三角形的三个角对应相等,则这两个三角形相似; 否命题:若两个三角形不相似,则这两个三角形的三个角对应不相等; 逆否命题:若两个三角形的三个角对应不相等,则这两个三角形不相似 (2)原命题:若x3,则x24x30; 逆命题:若x24x30,则x3; 否命题:若x3,则x24x30; 逆否命题:若x24x30,
6、则x3. (3)原命题:若一个四边形是正方形,则它的对角线互相平分; 逆命题:若一个四边形对角线互相平分,则它是正方形; 否命题:若一个四边形不是正方形,则它的对角线不互相平分; 逆否命题:若一个四边形对角线不互相平分,则它不是正方形 规律方法 1.写出一个命题的逆命题,否命题,逆否命题的方法 (1)写命题的四种形式时,首先要找出命题的条件和结论,然后写出命题的条件的否定 和结论的否定,再根据四种命题的结构写出所求命题 (2)在写命题时,为了使句子更通顺,可以适当地添加一些词语,但不能改变条件和结 论 2写否命题时应注意一些否定词语,列表如下: 原词语等于()大于()小于(b,则ac2bc2”
7、 ,以及它的逆命题、 否命题、逆否命题,在这 4 个命题中,真命题的个数为( ) A0 个 B1 个 C2 个 D4 个 (2)判断命题“若a0,则x2xa0 有实根”的逆否命题的真假 思路探究 (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可 (2)思路一 写出原命题的逆否命题判断其真假 思路二 原命题与逆否命题同真同假即等价关系 判断原命题的真假得到逆否命题的真假 解析 (1)当c0 时,ac2bc2不成立,故原命题是假命题,从而其逆否命题也是假 命题;原命题的逆命题为“若ac2bc2,则ab”是真命题,从而否命题也是真命题,故选 C. 答案 C (2)法一:原命题的逆否命题:若x2xa0 无实根,
8、则a0,方 程x2xa0 有实根,故原命题为真命题 原命题与其逆否命题等价,原命题的逆否命题为真命题 规律方法 判断命题真假的方法 1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念,正确地写出所涉及的命题,判定为 真的命题需要简单的证明,判定为假的命题要举出反例加以验证. 2原命题与它的逆否命题同真同假,原命题的否命题与它的逆命题同真同假,故二 者只判断一个即可. 跟踪训练 2判断下列四个命题的真假,并说明理由 (1)“若xy0,则x,y互为相反数”的否命题; (2)“若xy,则x2y2”的逆否命题; (3)“若x3,则x2x60”的否命题; (4)“对顶角相等”的逆命题 解 (1)命题“若xy0,则
9、x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数, 则xy0” ,则逆命题为真命题,因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性,所以 “若xy0,则x,y互为相反数”的否命题是真命题 (2)令x1,y2,满足xy,但x2y,则x2y2”是假命题,因为 原命题与其逆否命题具有相同的真假性,所以“若xy,则x2y2”的逆否命题也是假命 题 (3)该命题的否命题为“若x3,则x2x60” ,令x4,满足x3,但 x2x660,不满足x2x60,则该否命题是假命题 (4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题,如等边三角形的任意两个内角 都相等,但它们不是对顶角 等价命题的应用 探究问题 1当一
10、个命题的条件与结论以否定形式出现时,为了研究方便,我们可以研究哪一个 命题? 提示:一个命题与其逆否命题等价,我们可研究其逆否命题 2在证明“若m2n22,则mn2”时,我们也可以证明哪个命题成立 提示:根据一个命题与其逆否命题等价,我们也可以证明“若mn2,则 m2n22”成立 (1)命题“对任意xR R,ax22ax30 不成立”是真命题,则实数a的取值 范围是_ (2)证明:已知函数f(x)是(,)上的增函数,a,bR R,若f(a)f(b) f(a)f(b),则ab0. 【导学号:97792010】 思路探究 (1)根据其逆否命题求解(2)证明其逆否命题成立 解析 (1)命题“对任意x
11、R R,ax22ax30 不成立” 等价于“对任意xR R,ax22ax30 恒成立” , 若a0,则30 恒成立,a0 符合题意 若a0,由题意知Error!即Error! 3a3,则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个 数为 ( ) A1 B2 C3 D4 B B 原命题是真命题,从而其逆否命题是真命题,其逆命题是“若a6,则a3” , 是假命题,从而其否命题也是假命题,故真命题的个数是 2. 4命题“若m1,则mx22x10 无实根”的等价命题是_. 【导学号:97792011】 若mx22x10 有实根,则m1 原命题的等价命题是其逆否命题,由定义可知 其逆否命题为:“若mx22x10 有实根,则m1” 5已知命题p:“若ac0,则二次不等式ax2bxc0 无解” (1)写出命题p的否命题; (2)判断命题p的否命题的真假 解 (1)命题p的否命题为:“若ac0 有解” (2)命题p的否命题是真命题 判断如下: 因为ac0b24ac0二次方程ax2bxc0 有实根ax2bxc0 有解, 所以该命题是真命题