《2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学案新人教A版选修1_1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学案新人教A版选修1_1（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.13.1.1 变化率问题变化率问题 3.1.23.1.2 导数的概念导数的概念 学习目标：1.1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.2.会利用导数的定义求函数在某点 处的导数(重点难点)3.3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系(易混点) 自 主 预 习探 新 知 1函数的平均变化率 (1)定义式：. y x fx2fx1 x2x1 (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比 (3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢 (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数yf(x)的图象上两点，则平 均变化率表示割线P1P2的斜率 y x fx2fx1
2、 x2x1 思考：x，y的取值一定是正数吗？ 提示 x0，yP. 2函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 (1)定义式： . lim x0 y x lim x0 fx0xfx0 x (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，平均变化率趋近的值 (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢 3函数f(x)在xx0处的导数 函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作 f(x0)或y|xx0，即f(x0) . lim x0 y x lim x0 fx0xfx0 x 基础自测 1思考辨析 (1)y表示f(x2)f(x1)，y的值可正可负也可以为零( ) (2
3、)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量 ( ) (3)函数f(x)x在x0 处的瞬时变化率为 0.( ) 答案 (1) (2) (3) 2已知函数f(x)x21，则在x2，x0.1 时，y的值为( ) A0.40 B0.41 C0.43 D0.44 B B yf(2x)f(2)2.1240.41. 3一物体的运动方程是s3t2，则在一小段时间2,2.1内的平均速度为( ) 【导学号：97792121】 A0.41 B3 C4 D4.1 D D 4.1. s t 32.12322 2.12 合 作 探 究攻 重 难 求函数的平均变化率 (1)若函数f(x)2x21 的图象上
4、一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则 ( ) y x A4 B4x C42x D42(x)2 (2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图 311，在时间段t0，t1， t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为， ， ，则三者的大小关系为_ v1v2v3 图 311 (3)球的半径从 1 增加到 2 时，球的体积平均膨胀率为_ 解 (1)yf(1x)f(1)2(1x)21(2121) 2(x)24x 2x4，故选 C. y x (2)由题意知，kOA，kAB，kBC. v1v2v3 根据图象知. v1v2v3 (3)v 23 13. 4 3 4 3 28 3 . v r 28 3 答
5、案 (1)C (2) (3) v1v2v3 28 3 规律方法 求函数yf(x)从x0到x的 平均变化率的步骤 (1)求自变量的增量 xxx0. (2)求函数的增量 yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f(x0) (3)求平均变化率. y x fx0xfx0 x 提醒：x，y的值可正，可负，但 x0，y可为零，若函数f(x)为常值函数， 则 y0. 跟踪训练 1(1)函数yf(x)3x22 在区间x0，x0x上的平均变化率为_，当 x02，x0.1 时平均变化率的值为_ (2)已知函数f(x)x2x的图象上的一点A(1，2)及临近一点 B(1x，2y)，则_. y x (1)6x03x 12
6、.3 (2)x3 (1)函数yf(x)3x22 在区间x0，x0x 上的平均变化率为 fx0xfx0 x0xx0 3x0x223x2 02 x 6x0x3x2 x 6x03x. 当x02，x0.1 时， 函数y3x22 在区间2,2.1上的平均变化率为 6230.112.3. (2)yf(1x)f(1) (1x)2(1x)(1)2(1) (x)23x， y x x23x x x3. 求瞬时速度 若一物体的运动方程为sError!(路程单位：m，时间单位：s)求： (1)物体在t3 s 到t5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t1 s 时的瞬时速度 思路探究 (1)先求 s，再根据 求解
7、 v s t (2)先求，再求 . s t lim x0 s t 解 (1)因为 s3522(3322)48(m)，t2 s，所以物体在t3 s 到t5 s 这段时间内的平均速度为24(m/s) s t 48 2 (2)因为 s293(1t)32293(13)23(t)212t(m)， 所以3t12(m/s)， s t 3t212t t 则物体在t1 s 时的瞬时速度为 (3t12)12(m/s) lim x0 s t lim x0 规律方法 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量 t和位移改变量 ss(t0t)s(t0) (2)求平均速度 . v s t (3)求瞬时速度，当
8、t无限趋近于 0 时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度 s t 2求(当 x无限趋近于 0 时)的极限的方法 y x (1)在极限表达式中，可把 x作为一个数来参与运算 (2)求出的表达式后，x无限趋近于 0 就是令 x0，求出结果即可 y x 跟踪训练 2质点M按规律s2t23 作直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)求质点M在 t2 时的瞬时速度以及在1,3上的平均速度. 【导学号：97792122】 解 v lim x0 s2ts2 t (2t8)8(cm/s)， lim x0 2 2t22 22 t lim x0 v s3s1 31 2 3232 123 2 8(cm/s) 求函数在某
9、点处的导数 探究问题 求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同 (1)函数y在x1 处的导数为_ x (2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为yf(t)t33， 当t14，t0.01 时，求 y和比值； y t 求t14 时的导数 思路探究 (1) 求y 求y x 求 lim x0 y x (2) yf4.01f4 y t 求y 求y t 求 lim t0 y t 解析 (1)y1， 1x ， y x 1x1 x 1 1x1 ， lim x0 1 1x1 1 2 所以y|x1 . 1 2 答案 1 2 (2)
10、yf(t1t)f(t1)3tt3t1(t)2(t)3，故当 2 1 t14，t0.01 时，y0.481 201，48.120 1. y t 3t3t1t(t)23t48， lim x0 y t lim x02 12 1 故函数yt33 在t14 处的导数是 48， 即y|t1448. 规律方法 求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限 提醒：当对取极限时，一定要把变形到当 x0 时，分母是一个非零常数的形 y x y x 式 跟踪训练 3求函数yx 在x1 处的导数 1 x 解 y(1x)x， 1 1x (1 1 1) x 1x 1. y x x x 1x x 1
11、 1x 当 x0 时，2，f(1)2， y x 即函数yx 在x1 处的导数为 2. 1 x 当 堂 达 标固 双 基 1已知函数f(x)2x24 的图象上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)， 则等于( ) y x A4 B4x C42x D42(x)2 C C 42x. y x f1xf1 x 21x22 x 2一质点的运动方程是s42t2，则在时间段1,1t内相应的平均速度为( ) A2t4 B2t4 C4 D2t24t B B 2t4. v 421t242 12 t 4t2t2 t 3一质点按规律s(t)2t2运动，则在t2 时的瞬时速度为_. 【导学号：97792123】 8 s(2t)s(2)2(2t)2222 2(t)28t. (2t8)8. lim t0 s2ts2 t lim t0 2t28t t lim t0 4设f(x)ax4，若f(1)2，则a_. 2 f(1) lim t0 f1xf1 x lim t0 a，又f(1)2，a2. a1x4a4 x 5求函数y2x24x在x3 处的导数 解 y2(3x)24(3x)(23243)2(x)216x， 2x16. y x 2x216x x y|x3 (2x16)16. lim t0 y x lim t0
