《2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质学案新人教A版选修1_》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质学案新人教A版选修1_（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 1 1 课时课时 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形(重点)2.根 据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线(重点， 难点) 自 主 预 习探 新 知 1椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上 图形 标准方程 1(ab0) x2 a2 y2 b2 1(ab0) y2 a2 x2 b2 范围axa且bybbxb且aya 对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点 A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a) 顶点 B1(0，b)，B2(0，b)B1(b,0)，B2
2、(b,0) 轴长短轴长|B1B2|2b，长轴长|A1A2|2a 焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|2c 2.离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率 c a (2)性质：离心率e的范围是(0,1)当e越接近于 1 时，椭圆越扁；当e越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆 思考：(1)离心率e能否用 表示？ b a (2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？ 提示 (1)e21，所以e. c2 a2 a2b2 a2 ( b a) 2 (2)不是离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同 基础自测 1思考辨析 (1)椭圆1(ab)的长轴长为
3、a，短轴长为b.( ) x2 a2 y2 b2 (2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆( ) (3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称( ) 答案 (1) (2) (3) 2椭圆 6x2y26 的长轴的端点坐标是( ) A(1,0)，(1,0) B(6,0)，(6,0) C(，0)，(，0) 66 D(0，)，(0，) 66 D D 椭圆方程可化为x21，则长轴的端点坐标为(0，) y2 66 3椭圆 25x29y2225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) 【导学号：97792060】 A5,3,0.8 B10,6,0.8 C5,3,0.6 D10,6,0.6
4、 B B 椭圆方程可化为1，则a5，b3，c4，e ，故 B. x2 9 y2 25259 c a 4 5 合 作 探 究攻 重 难 根据椭圆的方程研究其几何性质 设椭圆方程mx24y24m(m0)的离心率为 ，试求椭圆的长轴的长和短轴的 1 2 长、焦点坐标及顶点坐标 解 椭圆方程可化为1. x2 4 y2 m (1)当 0m4 时， a2，b，c，e ，m3，b，c1，椭圆的长轴的 m4m c a 4m 2 1 23 长和短轴的长分别是 4,2，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2 3(1，0)(1，0)(2，0) ，B1(0，)，B2(0，) (2，0)33 (2)当m4 时，a，
5、b2，c，e ，解得m，a mm4 c a m4 m 1 2 16 3 ，c，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1，F2 4 3 3 2 3 3 8 3 3 (0， 2 3 3 ) ，顶点坐标为A1，A2，B1(2,0)，B2(2,0) (0， 2 3 3 )(0， 4 3 3 )(0， 4 3 3 ) 规律方法 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式 (2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍 跟踪训练 1已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭
6、圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭 x2 100 y2 64 圆C2的焦点在y轴上 (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质 解 (1)由椭圆C1：1 可得其长半轴长为 10，短半轴长为 8，焦点坐标 x2 100 y2 64 (6,0)，(6,0)，离心率e . 3 5 (2)椭圆C2：1. y2 100 x2 64 性质：范围：8x8，10y10； 对称性：关于x轴、y轴、原点对称； 顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)； 离心率：e . 3 5 利用几何性质求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆
7、的标准方程： (1)椭圆过点(3,0)，离心率e； 6 3 (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8； (3)求经过点M(1,2)，且与椭圆1 有相同离心率的椭圆的标准方程. x2 12 y2 6 【导学号：97792061】 思路探究 (1)焦点位置不确定，分两种情况求解 (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解 (3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系再用待定系数法求解 法二：设与椭圆1 有相同离心率的椭圆方程为k1(k10)或 x2 12 y2 6 x2 12 y2 6 k2(k20) y2 12 x2 6 解 (1)若焦点在x轴上，则a3，
8、e ，c， c a 6 36 b2a2c2963. 椭圆的方程为1. x2 9 y2 3 若焦点在y轴上，则b3， e ，解得a227. c a 1b2 a2 1 9 a2 6 3 椭圆的方程为1. y2 27 x2 9 所求椭圆的方程为1 或1. x2 9 y2 3 y2 27 x2 9 (2)设椭圆方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 如图所示，A1FA2为等腰直角三角形， OF为斜边A1A2的中线(高)， 且|OF|c，|A1A2|2b， cb4，a2b2c232， 故所求椭圆的方程为1. x2 32 y2 16 (3)法一：由题意知e21 ，所以 ，即a22b2 b2 a2 1
9、2 b2 a2 1 2 设所求椭圆的方程为1 或1. x2 2b2 y2 b2 y2 2b2 x2 b2 将点M(1,2)代入椭圆方程得 1 或1 1 2b2 4 b2 4 2b2 1 b2 解得b2 或b23. 9 2 故所求椭圆方程为1 或1. x2 9 y2 9 2 y2 6 x2 3 法二：设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)，将点M的坐标代入可 x2 12 y2 6 y2 12 x2 6 得 k1或 k2，解得k1 ，k2 ，故 或 ，即所求椭圆的 1 12 4 6 4 12 1 6 3 4 1 2 x2 12 y2 6 3 4 y2 12 x2 6 1 2 标准方程为1
10、或1. x2 9 y2 9 2 y2 6 x2 3 规律方法 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 1利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的 关系式有b2a2c2，e 等 c a 2在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这 些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个 提醒：与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆方程为k1(k10，焦点在 x2 a2 y2
11、b2 x2 a2 y2 b2 x轴上)或k2(k20，焦点在y轴上) y2 a2 x2 b2 跟踪训练 2(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18，一个焦点的坐标是(3,0)， 则椭圆的标准方程为( ) A.1 B.1 x2 9 y2 16 x2 25 y2 16 C.1 D.1 x2 16 y2 25 x2 16 y2 9 B B 由题意，得Error! 解得Error! 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为1. x2 25 y2 16 (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆 的长轴长为 6，且 cosOFA ，则椭圆的标准方
12、程是_ 2 3 1 或1 因为椭圆的长轴长是 6，cosOFA ，所以点A不是长轴 x2 9 y2 5 x2 5 y2 9 2 3 的端点(是短轴的端点) 所以|OF|c，|AF|a3， 所以 ，所以c2，b232225， c 3 2 3 所以椭圆的方程是1 或1. x2 9 y2 5 x2 5 y2 9 求椭圆的离心率 探究问题 1已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是 椭圆上的一点，且PFx轴，OPAB，怎样求椭圆的离心率？ 提示：如图，设椭圆的方程为1(ab0)，P(c，m) x2 a2 y2 b2 OPAB， PFOBOA， ， c a m b 又P
13、(c，m)在椭圆上， 1. c2 a2 m2 b2 将代入，得1， 2c2 a2 即e2 ，e. 1 2 2 2 2已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c,0)，A(a，0)，B(0，b)是两个 x2 a2 y2 b2 顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e. b 7 提示：由A(a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB ， b a 故AB所在的直线方程为ybx， b a 即bxayab0. 又F1(c,0)，由点到直线的距离公式可得d， |bcab| a2b2 b 7 (ac). 7a2b2 又b2a2c2， 整理，得 8c214ac5a20， 即 814 50. ( c
14、 a) 2 c a 8e214e50，e 或e (舍去) 1 2 5 4 综上可知，椭圆的离心率e . 1 2 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B 两点，若ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是_. 【导学号：97792062】 思路探究 ABF2为正三角形AF2F130把|AF1|，|AF2|用C表示 解析 不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABF1F2，且 ABF2为正三角形，所以在 RtAF1F2中，AF2F130，令 |AF1|x，则|AF2|2x，所以 |F1F2|x2c，再由椭圆的定义，可知 |AF2|2|AF1|23 |AF1|AF2|2a3x
15、， 所以e. 2c 2a 3x 3x 3 3 答案 3 3 规律方法 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e 求解若已知a，b或b，c可借助于 c a a2b2c2求出c或a，再代入公式e 求解 c a (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于 a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最 高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 跟踪训练 3(1)椭圆1(ab0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF是等边 x2 a2 y2 b2 三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是( ) A.1 B2 C.
