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1、,目 录,第二章 线性方程组,2.1 线性方程组的消元法,一、线性方程组的有关概念,则分别称,为线性方程组的系数矩阵、未知量矩阵和常数矩阵,设含有 个未知数 个方程的线性方程组为：,2.1 线性方程组的消元法,线性方程组（1）的矩阵方程：,线性方程组的增广矩阵：,例如，线性方程组,方程组的矩阵形式为 .,2.1 线性方程组的消元法,非齐次线性方程组：,（2）,（1）,齐次线性方程组：,1.1 行列式的定义,二、线性方程组的消元法,【引例1】 用消元法解下列方程组,【解】 第二个方程减去第一个方程的2倍，得,上式第二个方程两边同时乘以 ，得,上式第一个方程减去第二个方程，得,上述求解过程可用对增
2、广矩阵进行初等行变换替代：,1.1 行列式的定义,引例1的求解过程可用对增广矩阵进行初等行变换替代：,由最后一个行简化阶梯形矩阵，可得对应的方程组：,即得方程组的解,这种利用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法叫高斯消元法,2.1 线性方程组的消元法,三种同解变换：,高斯消元法步骤：先对增广矩阵进行初等行变换，使其化为行简化阶梯形矩阵，然后根据行简化阶梯形矩阵，直接写出方程组的解,2.1 线性方程组的消元法,【例1】 用高斯消元法解线性方程组,【解】 对增广矩阵施以初等行变换,2.1 线性方程组的消元法,由最后一个矩阵，可得原方程组的解为,（续）,2.1 线性方程组的消元法,【解】对增广矩阵施
3、以初等行变换,【例2 】 解线性方程组,由最后一个矩阵知，原方程组的同解方程组为,改写成,由方程组 可知,未知量 可以自由取值称变量 为自由未知量,若令 ，方程组解为,其中 为任意选取的常数,它给出了方程组的无穷多组解，这种解的形式是用自由变量表示的解称为方程组的一般解如果取 ，则得到原方程组的一组解：,【思考】例2中， 是否可以取 为自由未知量呢？如能，请给出此方程组的一般解和两组解,2.1 线性方程组的消元法,2.1 线性方程组的消元法,【例3 】 解下列线性方程组,【解】 写出对应的增广矩阵,经初等行变换 可化为,2.1 线性方程组的消元法,由上矩阵知，原方程组的同解方程组为,例3续,第
4、三个方程矛盾，故此方程无解,2.1 线性方程组的消元法,【例4】 已知总成本 是产量 的二次函数： 根据统计资料，产量与总成本之间有如下表所示的数据试求总成本函数中的 ,某厂某阶段产量和总成本统计表,【解】将已知数据 ， 代入二次函数模型中，得方程组,2.1 线性方程组的消元法,对上方程组的增广矩阵进行初等变换，可得,故方程组的解为,所以总成本函数为,2.1 线性方程组的消元法,用高斯消元法解线性方程组的具体步骤为：,（2）根据阶梯形矩阵，判断方程组是否有解；,（1）写出增广矩阵 ，用初等行变换将 化成阶梯形矩阵；,（3）在有解的情况下，写出阶梯形矩阵的同解方程，并用回代的方法求解或继续将 化
5、成行简化阶梯形矩阵后，直接写出方程组的解,2.2 线性方程组解的情况判定,【思考】方程组在什么情况下无解？有唯一解？有无穷多解呢？方程组的解与其矩阵的秩是否有关？,【推论1】 设 是齐次线性方程组（2）的系数矩阵，则 （1）齐次线性方程组（2）只有零解的充要条件是： （2）齐次线性方程组（2）有非零解的充要条件是：,2.2 线性方程组解的情况判定,一、非齐次线性方程组解的情况判定,【解】,（1）,因为 ， ，所以方程组无解,2.2 线性方程组解的情况判定,【解】,（2）,因 ，即 ，故方程组有唯一解,（3）,因 即 故方程组有无穷多解,2.2 线性方程组解的情况判定,【解】 对方程组的增广矩阵
6、施以初等行变换，将它化为阶梯形矩阵,【例2 】当 为何值时，线性方方程组 有解？,由上面最后一个矩阵，可知当 时， ，方程组有解；当 时， ，方程组无解,2.2 线性方程组解的情况判定,【解】 对方程组的增广矩阵施以初等行变换，将它化为阶梯形矩阵,2.2 线性方程组解的情况判定,讨论阶梯形矩阵的秩：,（1）当 时， ，方程组有唯一解；,（2）当 时， ，方程组有无穷多解；,（3）当 时， ，方程组无解,2.2 线性方程组解的情况判定,二、齐次线性方程组解的情况判定,【例4】试讨论方程组 是否有非零解？如果有解，求其解,【解】对齐次方程组的系数矩阵施以初等变换，使其化为阶梯形矩阵,由于 ，即 ，
7、故方程组有非零解,2.2 线性方程组解的情况判定,故知原方程组的同解方程组为,继续对矩阵 施以初等变换，可得,若取 ，则原方程组的解为,2.3 应用与实践,一、交通网络流量模型,【案例1】 如图所示是某地区的交 通网络流量图设所有道路均为单行道， 且道路边不能停车图中的箭头标识了交 通的方向，标识的数为高峰期每小时进出 道路网络的车辆数设进出道路网络的车 辆相同，总数各为800辆若进入每个交 叉点（交叉路口）的车辆数等于离开该点 的车辆数，则交通流量平衡条件得到满足，交通就不出现堵塞求各交叉点交通流量为多少时，此交通网络不出现堵塞,【分析】 交通网络流的基本假设是网络中流入与流出的总量相等，并
8、且每个联结点流入和流出的总量也相等,2.3 应用与实践,【解】设每小时进出交叉点（路口）的未知车辆如图2所示，根据对每一个道路交叉点的平衡条件： 进入某点的车辆数离开此点的车辆数， 可建立如下方程,A点： ； B点： ； C点： ； D点： ； E点： ,故可得一个交通网络流量模型：,2.3 应用与实践,求解交通流量模型：,下面用初等行变换求此模型的解,2.3 应用与实践,其中 为自由变量，分别设为 ，交通网络流量模型的解为,例如，取 ，则得一组解,必须满足： ,2.3 应用与实践,二、电路网络模型,【案例2】 在如图所示的电路网络中，求各支路上的电流强度,【解】 根据基尔霍夫节点电流定律，回
9、路上的电流： 电路网络中的电流和电压满足欧姆定律： ,用增广矩阵表示这个电路网络模型:,根据基电压定律，上回路上的电压：,下回路上的电压：,2.3 应用与实践,用初等行变换将上矩阵化为行简化阶梯形矩阵：,所以，电路网络模型的同解方程组是,即各支路的电流为,2.3 应用与实践,【案例3】 某企业生产A、B、C三种玩具，每种产品需要甲、乙、丙三种零件的个数分别为2，1，2、1，1，1和3，2，1现有原料甲7700个（零件），原料乙5200个，原料丙4700个问A，B，C三种玩具各生产多少，才能使原料得到充分利用？,【解】 设A、B、C三种玩具的产量分别为x、y、z为使原料得到充分的利用，x，y，z
10、必须满足方程组（资源分配模型）：,增广矩阵为,2.3 应用与实践,对增广矩阵进行初等行变换，可得,所以当A、B、C三种玩具的产量分别为1000，1200，1500个时，才能使原料得到充分的利用,2.3 应用与实践,【案例4】 甲、乙、丙是经营领域不同的三家公司，为了规避市场风险，他们决定交叉持股，约定按比例分红，持股比例如表2.3所示某年度三家公司的经营利润分别为120万元、100万元、80万元，如果公司的总利润由经营利润与投资利润组成，试分别确定这三家公司的总利润与实际利润,【解】 设甲、乙、丙三家公司的总利润分别为 万元，则由已知可得：,2.3 应用与实践,甲公司的总利润 =甲公司的经营利
11、润+甲公司投资利润,乙公司的总利润 =乙公司的经营利润+乙公司投资利润,丙公司的总利润 =丙公司的经营利润+丙公司投资利润,经整理，得到方程组（即资源分配模型）：,这个方程组的系数行列式D=0.8320，所以方程组有唯一解. 解得,2.3 应用与实践,这三家公司的总利润分别为198.8、176.9、172.8万元。 三家公司的实际利润为： 甲公司的实际利润=198.850%=99.4 （万元） 乙公司的实际利润=176.945%=79.6（万元） 丙公司的实际利润=172.870%=121.0（万元） 注意到三家公司的经营利润之和为： 120+100+80=300 （万元） 经过再分配后，各公司所得实际利润之和仍为： 99.4+79.6+121=300（万元） 这就是说，利润的再分配并没有产生新的利润，只是将风险与收益联系起来，更为公平,
