《2018年秋高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年秋高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必修（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.42.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 学习目标：1.理解用坐标表示两向量共线的条件(难点)2.能根据平面向量的坐标， 判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法(重点)3.两直线平行与两向量共线的判 定(易混点) 自 主 预 习探 新 知 平面向量共线的坐标表示 (1)设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，其中b0b0，a a，b b共线，当且仅当存在实数，使 a ab b. (2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当x1y2x2y10 时，向量 a a，b b(b0b0)共线 基础自测 1思考辨析 (1)向量(1,2)与向量(4,
2、8)共线( ) (2)向量(2,3)与向量(4，6)反向( ) (3)若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)且b b0，则.( ) x1 x2 y1 y2 解析 (1)正确因为(4,8)4(1,2)，所以向量(1,2)与向量(4,8)共线 (2)正确因为(4，6)2(2,3)，所以向量(2,3)与向量(4，6)反向 (3)错误当x2y20 时. x1 x2 y1 y2 答案 (1) (2) (3) 2下列各对向量中，共线的是( ) Aa a(2,3)，b b(3，2) Ba a(2,3)，b b(4，6) Ca a(，1)，b b(1，) 22 Da a(1，)，b b(，2) 22 D
3、 D A，B，C 中各对向量都不共线，D 中b ba a，两个向量共线 2 3已知a a(3,2)，b b(6，y)，且a ab b，则y_. 4 a ab b， ，解得y4. 6 3 y 2 合 作 探 究攻 重 难 判定直线平行、三点共线 (1)已知A，B，C三点共线，且A(3，6)，B(5,2)，若C点的横坐标为 6，则C点的纵坐标为( ) A13 B9 C9 D13 (2)已知A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行 AB CD 于直线CD吗？ 思路探究 (1) 设C点的坐标 由AB AC 列方程 求坐标 (2) 判定向量AB 与CD 平行 两
4、向量上的相关点不共线 (1 1)C C (1)设C(6，y)， AB AC 又(8,8)，(3，y6)， AB AC 8(y6)380， y9. (2)解 (1(1)，3(1)(2,4)， AB (21,75)(1,2) CD 又 22410， . AB CD 又(2,6)，(2,4)， AC AB 24260， A，B，C不共线， AB与CD不重合， ABCD. 规律方法 向量共线的判定方法 提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1x2y20 或x1x2y1y20 都是 不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减 跟踪训练 1已知A(1，3)，B，C(9,1)，求证
5、：A，B，C三点共线. (8， 1 2) 【导学号：84352230】 证明 ，(91,13)(8,4)， AB (81， 1 23) (7， 7 2) AC 74 80， 7 2 ，且，有公共点A， AB AC AB AC A，B，C三点共线. 已知平面向量共线求参数 已知a a(1,21,2)，b b(3,23,2)，当k为何值时，ka ab b与a a3b3b平行？平行时 它们是同向还是反向？ 【导学号：84352231】 思路探究 法一：可利用b b与非零向量a a共线等价于b ba a(0，b b与a a同向； 0，b b与a a反向)求解； 法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再
6、利用b ba a判定同向还是反向 解 法一：(共线向量定理法)ka ab bk(1,2)(3,2)(k3,2k2)， a a3b3b(1,2)3(3,2)(10，4)， 当ka ab b与a a3b3b平行时，存在唯一实数， 使ka ab b(a a3b3b) 由(k3,2k2)(10，4)， 所以Error! 解得k . 1 3 当k 时，ka ab b与a a3b3b平行，这时ka ab ba ab b (a a3b3b)， 1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 因为 0， 1 3 所以ka ab b与a a3b3b反向 法二：(坐标法)由题知ka ab b(k3,2k2)， a a3b
7、3b(10，4)， 因为ka ab b与a a3b3b平行， 所以(k3)(4)10(2k2)0， 解得k . 1 3 这时ka ab b (a a3b3b)， ( 1 33， 2 32) 1 3 所以当k 时，ka ab b与a a3b3b平行，并且反向 1 3 规律方法 利用向量平行的条件处理求值问题的思路： (1)利用共线向量定理a ab b(b b0)列方程组求解 (2)利用向量平行的坐标表达式x1y2x2y10 直接求解 跟踪训练 2已知a a(1,1)，b b(x2，x)且a ab b，则实数的最小值是_ 因为a ab b，所以x2x0， 1 4 即x2x 2 ， (x 1 2)
8、1 4 1 4 所以的最小值为 . 1 4 向量共线的综合应用 (1)已知向量a a(cos ，2)，b b(sin ，1)，且a ab b，则 2sin cos 等于( ) A3 B3 C D 4 5 4 5 (2)如图 2318 所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐 标. 【导学号：84352232】 图 2318 思路探究 (1)先由a ab b推出 sin 与 cos 的关系，求 tan ，再用“1”的 代换求 2sin cos . (2)要求点P的坐标，只需求出向量的坐标，由与共线得到，利用与 OP OP OB OP OB AP 共线的坐标表
9、示求出即可；也可设P(x，y)，由及，列出关于x，y的 AC OP OB AP AC 方程组求解 (1 1)C C (1)因为a ab b，所以 cos 1(2)sin 0 即 cos 2sin ，tan ， 1 2 所以 2sin cos 2sin cos sin2cos2 2tan tan21 . 2 ( 1 2) ( 1 2)21 4 5 (2)法一：(定理法)由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则 OP OB (44,4)，(2,6) AP OP OA AC OC OA 由与共线得(44)64(2)0，解得 ，所以(3,3)， AP AC 3 4 OP 3 4OB 所以P点的坐标为(
10、3,3) 法二：(坐标法)设P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以 OP OB OP OB ，即xy. x 4 y 4 又(x4，y)，(2,6)，且与共线，则得(x4)6y(2)0，解 AP AC AP AC 得xy3，所以P点的坐标为(3,3) 规律方法 向量共线的坐标表示的应用 1已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明 三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. 2已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程 思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
11、 跟踪训练 3如图 2319，已知A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，求AC与BD的交点P的 坐标 图 2319 解 设(111,62)(10，4) BP BD 易得(11,1)， CB (1011,41) CP CB BP 又(8,4)，而与共线， CA CP CA 4(1011)8(41)0， 解得 . 1 2 设点P的坐标为(xP，yP)， (5,2)(xP1，yP2)， BP Error! 即Error! 故点P的坐标为(6,4). 共线向量与线段分点点坐标的计算 探究问题 1设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐
12、标？ 提示：如图所示，P为P1P2的中点， ， P1P PP2 ， OP OP1 OP2 OP () OP 1 2 OP1 OP2 ， ( x1x2 2 ，y1y2 2 ) 线段P1P2的中点坐标是. ( x1x2 2 ，y1y2 2 ) 2设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则 P点坐标是什么？ 提示：点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况： 当时， () P1P 1 3P1P2 OP OP1 P1P OP1 1 3P1P2 OP1 1 3 OP2 OP1 2 3OP1 1 3OP2 ； ( 2x1x2 3 ，2y1y2 3 ) 当
13、时， P1P 2 3P1P2 OP OP1 P1P OP1 2 3P1P2 () OP1 2 3 OP2 OP1 1 3OP1 2 3OP2 . ( x12x2 3 ，y12y2 3 ) 3当时，点P的坐标是什么？ P1P PP2 提示：()， OP OP1 P1P OP1 PP2 OP1 OP2 OP OP1 OP2 OP OP OP1 OP2 1 (x1，y1)(x2，y2) 1 1 1 ( 1 1x1， 1 1y1) ( 1x2， 1y2) ， ( x1x2 1 ，y1y2 1 ) P. ( x1x2 1 ，y1y2 1 ) 已知点A(3，4)与点B(1,2)，点P在直线AB上，且|2|，求点 AP PB P的坐标. 【导学号：84352233】 思路探究 点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此 应分类讨论 解 设P点坐标为(x，y)， |2|. AP PB 当P在线段AB上时，2， AP PB (x3，y4)2(1x,2y)， Error!解得Error! P点坐标为. ( 1 3，0) 当P在线段AB延长线上时，2， AP PB (x3，y4)
