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1、第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C一、填空题（每小题 10 份，共 80 分）1. 计算： 【答案】1【考点】计算：分数小数综合运输【解析】2. 在右边的算式中，每个汉字代表 0 至 9 这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字，则“ 数学竞赛 ”所代表的四位数是_【答案】1962【考点】组合：数字谜【解析】遇到减法数字谜通常变成加法会更利于分析：个位为4，所以赛为2或7，若赛为7则会进位，和的十位只能是奇数，所以；个位为2，若，原式为，有重复数字；所以，3. 如下图，在直角三角形 ABC 中，点 F 在 AB 上且 AF = 2 FB ，四边形 EBCD 是平
2、行四边形，那么 FD : EF为_【答案】【考点】几何：沙漏模型【解析】由沙漏模型可知4. 下图是由若干块长 12 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒 2 厘米，向下爬行的速度为每秒 3 厘米，水平爬行的速度为每秒4 厘米，则蚂蚁至少爬行了多少秒？【答案】40秒【考点】组合：最值问题【解析】要想时间最少，则需要按如图中的粗线爬行；蚂蚁向上、向下爬行的最短路程是厘米，水平爬行的路程是厘米，所以至少用时秒5. 设 a ，b， c，d ，e均是自然数，并且 a b c d e ，
3、 a + 2b+3c +4d +5e =300 ， 则 a + b的最大值为_【答案】35【考点】组合：最值问题【解析】和是五个数中最小的两个，要想最大，则希望这五个数尽量接近，先估算再局部调整；，则先让而，大于300，调整得：，离300差5，则最后让即可所以的最大值也可通过计算证明最大只能取到35：可得6. 现有甲、乙、丙三个容量相同的水池一台 A 型水泵单独向甲水池注水，一台 B 型水泵单独向乙水池注水，一台 A 型和一台 B 型水泵一期向丙水池注水已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多 4 个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多 5 个小时，则注满丙水池的三分之二需要_个小时【答案】4【
4、考点】应用题：工程问题【解析】设注满丙池用小时，则注满乙池用时小时，注满甲池用时小时；利用丙池工效应该等于甲乙两池工效之和可得：所以注满丙池的三分之二需要小时注:通常工程问题都设工效为未知数，但此题如果设工效，则方程非常难解，需要用到初中知识因式分解中的十字交叉法，对于小学生来说是无法做的而本题解法比较巧妙，设丙池的时间，最终只需要解即可，所以有时候还是需要有突破性的思维，学会打破常规，寻求出路7. 用八块棱长为 1cm 的小正方体堆成一个立体图形，其俯视图如下图所示，则共有_种不同的堆法（经过旋转能重合的算一种堆法）【答案】10【考点】计数：分类枚举【解析】法一：（先每列放几块讨论）可以直接
5、分类枚举，也可以先再每个位置放一块，这样只需要分析剩下4块的方法即可，1种；，3种，（这两个不一样，此题的易错点），2种，3种，1种，共：种法二：（按每层放几块讨论）底层已用了四块小方体，考虑第二层分别有一、二、三、四块的情况见下图，第二层有一块，只有1种堆法；第二层有两块，有5种堆法；第二层有三块，有3种堆法；第二层有四块，只有1种堆法总计有10种堆法8. 如图， 在三角形 ABC 中，AF = 2 BF ，CE = 3 AE ，CD = 4 BD ， 连接 CF 交 DE 于 P 点，则 【答案】【考点】几何：风筝模型【解析】连接和因为，所以,又因为，；同理可得；所以注：填空题所以直接使用
6、了风筝模型的结论，如果是解答题同学们最好自己证明一次二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9. 有三个农村在一条公路边， 分别在下图所示的 A ，B 和C 处A 处农场年产小麦 50 吨，B 处农场年产小麦 10 吨，C处农场年产小麦 60 吨要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦，假设运费从 A 到 C 方向是每吨每千米 1.5 元，从 C 到 A 方向每吨每千米 1元问仓库应该建在何处才能使运费最低？【答案】处【考点】应用题：分类讨论【解析】讨论变化趋势，比较A、B两点设仓库可知AB运费越来越高，而BA则运费越来越低，同理可知CB运费越来越低，而BC则运费越来越
7、高具体比较三点：若建在处，运费为：元若建在处，运费为：元若建在处，运费为：元所以建在处运费最低10. 把 中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以 2014为分母的所有分数的和是多少？【答案】468【考点】数论：因数倍数【解析】全部分数都化成最简分数分母还是2014，则说明原分子和2014互质，接下来计算12013中，与2014互质的数有有多少个即可，这一步有两种方法：法一：（容斥原理），；所以12013中，与2014互质的数有个；法二：（利用欧拉公式直接计算）因为，所以12013中，与2014互质的数有个；而这936个数中，只要有一个是最简分数，一定也有一个也是最简分数，两个一组和为1（如：
8、；），所以他们的和为11. 上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见下图的（a），（b），和（c）现有 5 块一颗星，2 块两颗星和 1 块三颗星的积木，如果用若干个这些积木在地面上组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（下图（d）是其中一种摆放方式）【答案】13【考点】计数：分类枚举、乘法原理【解析】先拆分5，再算每种情况有多少种摆法即可两块：三块：四块：五块：共：12. 某自然数减去 39是一个完全平方数，减去 144 也是一个完全平方数，求此自然数【答案】160，208，400，2848【考点】数论：因数倍数、分类讨论【解析】设这个数为，则，（1）；（2）；（3）；（4）
9、；所以可能为160，208，400和2848三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13. 如图，圆周上均匀地标出十个点，将 110 这十个自然数分别放到这十个点上，用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把 110 分成两组，每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式，对于每种分组都有一个两组数和的乘积记五个积中最小的值为 K ，问所有的摆放中， K 最大为多少？【答案】756【考点】组合：最值问题、构造与论证【解析】，共55要分成两组，则两组的和一定为55，由最值原理：和一定，差小积大可知，当这两组的和分别为27、28时，乘积为最大而要取到756，需要构造出一种摆法能实现五个分组方式中，两个组的和都为27、28经尝试，可以实现，构造方法不唯一，如图所示为两种不同的情况14. 将每个最简分数 （其中 m n , 为互质的非零自然数） 染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将 1 染成红色；（2）相差为 1 的两个数颜色不同；（3）不为 1 的数与其倒数颜色不同问： 分别被染成了什么颜色？ 【答案】染成蓝色；染成红色【考点】组合：操作类问题【解析】由规则（1）和（2）得到结论，奇数都被染成红色，偶数则被染成蓝色，再由规则（3）可得到结论，不为1的奇数的倒数是蓝色，偶数的倒数是红色
