《2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第二章 随机变量及其分布2.3.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第二章 随机变量及其分布2.3.2 （15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散 型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的 方差的求法，会利用公式求它们的方差 知识点一 方差、标准差的定义及方差的性质 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为 X 和 Y，X 和 Y 的分布列如下： X012 P 6 10 1 10 3 10 Y012 P 5 10 3 10 2 10 思考 1 试求 E(X)，E(Y) 答案 E(X)012， 6 10 1 10 3 10 7
2、10 E(Y)012. 5 10 3 10 2 10 7 10 思考 2 能否由 E(X)与 E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？ 答案 不能，因为 E(X)E(Y) 思考 3 试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？ 答案 方差 梳理 (1)方差及标准差的定义 设离散型随机变量 X 的分布列为 Xx1x2 xi xn Pp1p2 pi pn 方差：D(X)(xiE(X)2pi； n i1 标准差：. DX (2)方差与标准差的意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度方差或标准差越 小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小 (3)方差的性质：D(aXb)
3、a2D(X) 知识点二 两点分布与二项分布的方差 XX 服从两点分布XB(n，p) D(X)p(1p)(其中 p 为成功概率)np(1p) 1离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定( ) 2若 a 是常数，则 D(a)0.( ) 3离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度( ) 类型一 求随机变量的方差与标准差 例 1 已知 X 的分布列如下： X101 P 1 2 1 4 a (1)求 X2的分布列； (2)计算 X 的方差； (3)若 Y4X3，求 Y 的均值和方差 考点 离散型随机变量方差的性质 题点 方差性质的应用 解 (1)由分布列的性质，知 a1，故 a ， 1 2
4、 1 4 1 4 从而 X2的分布列为 X201 P 1 4 3 4 (2)方法一 由(1)知 a ， 1 4 所以 X 的均值 E(X)(1) 0 1 . 1 2 1 4 1 4 1 4 故 X 的方差 D(X) 2 2 2 . (1 1 4) 1 2 (0 1 4) 1 4 (1 1 4) 1 4 11 16 方法二 由(1)知 a ，所以 X 的均值 E(X)(1) 0 1 ， 1 4 1 2 1 4 1 4 1 4 X2的均值 E(X2)0 1 ，所以 X 的方差 D(X)E(X2)E(X)2. 1 4 3 4 3 4 11 16 (3)因为 Y4X3，所以 E(Y)4E(X)32，D
5、(Y)42D(X)11. 反思与感悟 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量 X2的均 值比较好计算的情况下，运用关系式 D(X)E(X2)E(X)2不失为一种比较实用的方法另 外注意方差性质的应用，如 D(aXb)a2D(X) 跟踪训练 1 已知 的分布列为 010205060 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 (1)求方差及标准差； (2)设 Y2E()，求 D(Y) 考点 离散型随机变量方差的性质 题点 方差性质的应用 解 (1)E()0 10 20506016， 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 D()(016)2 (1016)2 (2
6、016)2(5016)2(6016)2384， 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 8. D6 (2)Y2E()， D(Y)D(2E()22D()43841 536. 类型二 两点分布与二项分布的方差 例 2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植 了 n 株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 为成活沙柳的株数，均 值 E()为 3，标准差为. D 6 2 (1)求 n 和 p 的值，并写出 的分布列； (2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 考点 三种常用分布的方差 题点 二项分布的方差
7、解 由题意知，B(n，p)，P(k)C pk(1p)nk，k0,1，n. k n (1)由 E()np3，D()np(1p) ， 3 2 得 1p ，从而 n6，p . 1 2 1 2 的分布列为 0123456 P 1 64 3 32 15 64 5 16 15 64 3 32 1 64 (2)记“需要补种沙柳”为事件 A，则 P(A)P(3)， 得 P(A)，或 P(A)1P(3)1，所以需要补种 1 64 3 32 15 64 5 16 21 32 ( 15 64 3 32 1 64) 21 32 沙柳的概率为. 21 32 反思与感悟 解决此类问题第一步是判断随机变量 服从什么分布，第
8、二步代入相应的公式 求解若 服从两点分布，则 D()p(1p)；若 服从二项分布，即 B(n，p)，则 D() np(1p) 跟踪训练 2 某厂一批产品的合格率是 98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差； (2)从中有放回地随机抽取 10 件产品，计算抽出的 10 件产品中正品数的方差及标准差 考点 三种常用分布的方差 题点 二项分布的方差 解 (1)用 表示抽得的正品数，则 0,1. 服从两点分布，且 P(0)0.02，P(1)0.98， 所以 D()p(1p)0.98(10.98)0.019 6. (2)用 X 表示抽得的正品数，则 XB(10,0.98)， 所以 D(X)
9、100.980.020.196， 标准差为0.44. DX 类型三 方差的实际应用 例 3 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试已知甲、乙两名射手在一 次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 ，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环 数均大于 6 环，且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为 0.5,3a，a,0.1，乙射中 10,9,8 环的概率分 别为 0.3，0.3，0.2. (1)求 ， 的分布列； (2)求 ， 的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人 考点 均值、方差的综合应用 题点 均值与方差在实际中的应用 解 (1)依据题意知，0.53aa0.11，
10、解得 a0.1. 乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2， 乙射中 7 环的概率为 1(0.30.30.2)0.2. ， 的分布列分别为 10987 P0.50.30.10.1 10987 P0.30.30.20.2 (2)结合(1)中 ， 的分布列，可得 E()100.590.380.170.19.2， E()100.390.380.270.28.7， D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96， D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21. E()E()，说明甲
11、平均射中的环数比乙高 又D()D()，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同， 但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定 1已知随机变量 X 的分布列为 X101 P 1 2 1 3 1 6 则下列式子：E(X) ；D(X)；P(X0) .其中正确的个数是( ) 1 3 23 27 1 3 A0 B1 C2 D3 考点 离散型随机变量方差、标准差的概念与计算 题点 离散型随机变量的方差、标准差的计算 答案 C 解析 由分布列可知，E(X)(1) 0 1 ，故正确；D(X) 1 2 1 3 1 6 1 3 2 2 2 ，故不正确，显然正确 (1
12、1 3) 1 2 (0 1 3) 1 3 (1 1 3) 1 6 5 9 2有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 10 株的分蘖数据，计算出样本均值 E(X甲)E(X乙)， 方差分别为 D(X甲)11，D(X乙)3.4.由此可以估计( ) A甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 考点 均值、方差的综合应用 题点 均值与方差在实际中的应用 答案 B 3同时抛掷两枚质地均匀的硬币 10 次，设两枚硬币同时出现反面的次数为 ，则 D()等于 ( ) A. B. C. D5 15 8 15 4 5 2 考点 三种常
13、用分布的方差 题点 二项分布的方差 答案 A 解析 抛掷两枚均匀硬币，两枚硬币都出现反面的概率为 P ， 1 2 1 2 1 4 则易知满足 B，n10，p ， (10， 1 4) 1 4 则 D()np(1p)10 . 1 4 (1 1 4) 15 8 4已知离散型随机变量 X 的分布列如下表所示，若 E(X)0，D(X)1，则 a_，b_. X1012 Pabc 1 12 考点 离散型随机变量方差的性质 题点 方差性质的应用 答案 5 12 1 4 解析 由题意知Error!Error!解得Error!Error! 5编号为 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位，每
14、位学生坐一个座位，设与 座位编号相同的学生的人数是 ，求 E()和 D() 考点 均值、方差的综合应用 题点 求随机变量的均值与方差 解 的所有可能取值为 0,1,3，0 表示三位同学全坐错了，有 2 种情况，即编号为 1,2,3 的座位上分别坐了编号为 2,3,1 或 3,1,2 的学生， 则 P(0) ； 2 A3 3 1 3 1 表示三位同学只有 1 位同学坐对了， 则 P(1) ； C1 3 A3 3 1 2 3 表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则 P(3) . 1 A3 3 1 6 所以 的分布列为 013 P 1 3 1 2 1 6 E()0 1 3 1. 1 3 1 2 1 6 D() (01)2 (11)2 (31)21. 1 3 1 2 1 6 1随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以 及随机变量取值偏离于均值的平均程度方差 D(X)或标准差越小，则随机变量取值偏 DX 离均值的平均程度越小；方差 D(X)或标准差越大，表明偏离的平均程度越大，说明 X DX 的取值越分散 2求离散型随机变量 X 的均值、方差的步骤 (1)理解 X 的意义，写出 X 的所有可能的取值 (2)求 X 取每一个值的概率 (3)写出随机变量 X 的分布列 (4)由均值、方差的定义求 E(X)，D(X) 特别地，若随机
