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1、章末整合提升,专题一,线面平行与垂直的证明,例 1：如图 1，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方 形，侧棱 PD底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点，作 EF PB 于点 F. (1)证明：PA 平面 EDB； (2)证明：PB平面 EFD.,图 1,(2)PD底面 ABCD，DC底面 ABCD， PDDC.PDDC，,PDC 是等腰直角三角形，,而 DE 是斜边 PC 的中线，DEPC. 同样由 PD底面 ABCD，得 PDBC.,又DCBC，PCDEE，BC平面 PDC. 而 DE平面 PDC，BCDE.,DEPC，BCPCC，DE平面 PBC. 而 PB平面 PB
2、C，DEPB.,又 EFPB 且 DEEFE，PB平面 EFD.,图 2,证明：(1)设AC 与BD 交于点 G，如图28.,图 28,四边形 AGEF 为平行四边形， AFEG.,EG平面 BDE，AF平面 BDE， AF平面 BDE.,(2)连接 FG，如图28.,EFCG，EFCG1，且 CE1， 平行四边形 CEFG 为菱形，CFEG.,四边形 ABCD 为正方形，,图 3,13.(辽宁) 如图 4，棱柱ABC A1B1C1 的 侧面,BCC1B1 是菱形，B1CA1B.,(1)证明：平面 AB1C平面 A1BC1；,(2)设 D 是 A1C1 上的点，且 A1B平面 B1CD，求 A
3、1DDC1,的值,图 4,(3)解：EFFB，BFC90， BF平面 CDEF.,BF 为四面体 BDEF 的高，又 BCAB2，,专题二,空间角,例 2：(全国)直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若BAC 90，ABACAA1 ，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于,(,),A30,B45,C60,D90,思维突破：延长 CA 到 D，使得 ADAC， 则 ADA1C1 为平行四边形， DA1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角， 又三角形 A1DB 为等边三角形，DA1B60.,答案：C,21.(2010 年全国)已知三棱锥 SABC 中，底面 ABC 为边 长等于 2
4、的等边三角形，SA 垂直于底面 ABC，SA3，那么直 线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( ),22.(湖南)如图 5，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，,ABAD1，AA12，M 是棱 CC1 的中点 (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值； (2)证明：平面 ABM平面 A1B1M.,图 5,解：(1)因为C1D1B1A1，所以MA1B1 为异面直线A1M 与,C1D1 所成的角,因为 A1B1平面BCC1B1，所以A1B1M90.,图 6,(2)解：连接 AC，如图 7.,设点 A 到平面 PBC 的距离为 h. ABDC，BCD90， ABC90.,从而
5、由 AB2，BC1，,图 7,如果很难作出平面的垂线，可以用等体积 法，即利用四面体的体积不变性，求点到平面的距离,31.(广东)如图 8， 是半径为 a 的半圆，AC 为 直径，点 E 为 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点， 平面 AEC 外一点 F 满足 FC平面 BED，FB .,(1)证明：EBFD；,(2)求点 B 到平面 FED 的距离,图 8,图 9,32.(陕西)如图 9，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 平面 ABCD，APAB，BPBC2，E、F 分别是 PB、PC 的中点 (1)证明：EF平面 PAD； (2)求三棱锥 EABC 的体积 V.,
