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1、绝密启用前 试卷类型：新课标（A）2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷1至2页，第卷3至6页，满分150分.第卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合，则集合中的元素个数为 （A） 5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点，向量，则向量 （A） （B） （C） （D）（3）已知复数满足，则（A） （B） （C） （D）（4）如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（A） （B
2、） （C） （D）（5）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则 （A） （B） （C） （D）（6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛（7）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则 （A） （B） （C） （D）（8
3、）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 （A） （B）（C）（D）（9）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数 ，且，则 （A） （B） （C） （D）（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则（A） （B）（C）（D）（12）设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则（A） （B） （C） （D）第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题第24题为选考题，考生根据要求作答。二.填空题：本大题共
4、4小题，每小题5分。(13)在数列中为的前n项和，若，则 . (14)已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .(15)若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为 .(16)已知F是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， .当周长最小时，该三角形的面积为 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知分别是内角的对边，.（I）若，求（II）若，且 求的面积.（18）（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，.（I）证明：平面平面；（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入
5、某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费，和年销售量的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（I）根据散点图判断，与，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？（20）（本小题满分12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆C
6、：交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II），其中O为坐标原点，求.（21）（本小题满分12分）设函数.（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时，.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB是圆O直径，AC是圆O切线，BC交圆O与点E.（I）若D为AC中点，求证：DE是圆O切线；（II）若，求的大小.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求的极坐标方程；（II）若直线的极
7、坐标方程为，设的交点为，求 的面积.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）当 时求不等式 的解集；（II）若 图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题答案A卷选择题答案一.选择题（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）CA、B卷非选择题答案二.填空题（13）6 （14）1 （15）4 （16） 三.解答题（17）解：（I）由题设及正弦定理可得=2ac.又a=b，可得b=2c，a=2c.由余弦定理可得cosB= . 6分（II）
8、由（I）知=2ac.因为B=，由勾股定理得.故，得c=a=.所以ABC的面积为1. 12分（18）解：（I）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE,故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED. 5分 （II）设AB=，在菱形ABCD中，又ABC= ，可得AG=GC=，GB=GD=.因为AEEC,所以在RtAEC中，可的EG=.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱锥E-ACD的体积=ACGDBE=.故=2 9分 从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3，EAD的面积与 ECD的面积均为.故三棱锥E-AC
9、D的侧面积为3+2. 12分（19）解：（I）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程类型. 2分（II）令，先建立y关于w的线性回归方程式.由于,，所以y关于w的线性回归方程为,因此y关于的回归方程为 6分（）（i）由（II）知，当=49时，年销售量y的预报值，年利润z的预报值 9分（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值 .所以当，即=46.24时，取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. 12分（20）解：（I）由题设，可知直线的方程为.因为与C交于两点，所以.解得 .所以k的取值范围为. 5分（II）设.将代入方程，整理得.所以.
10、 . 由题设可得=12，解得k=1，所以的方程是y=x+1.故圆心C在上，所以. 12分（21）解：（I）的定义域为.当0时，没有零点；当时，因为单调递增，单调递减，所以在单调递增，又，当b满足0b且b时，故当0时存在唯一零点. 6分（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，0；当时，0.故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时，. 12分（22）解：（I）连结AE，由已知得，AEBC,ACAB.在RtAEC中，由已知得，DE=DC,故DEC=DCE.连结OE，则OBE=OEB.又OED+ABC=，所以DEC+OEB=，故OED=，DE是O的切线. 5分 （II）设CE=1，AE=，由已知得AB=，BE=.由射影定理可得，所以，即.可得，所以ACB=. 10分 （23）解：（I）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为. 5分 （II）将代入，得，解得.故，即由于的半径为1，所以的面积为. 10分 （24）解：（I）当时，化为.当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当，不等式化为-+20，解得12.所以的解集为. 5分 （II）由题设可得，所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为,ABC的面积为.由题设得6，故2.所以的取值范围为. 10分
