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1、第第 7 7 练练 概概 率率 明晰考情 1.命题角度：概率是高考的必考知识点，古典概型和离散型随机变量的期望、 方差是选择题、填空题考查的热点.2.题目难度：中低档难度 考点一 随机事件的概率 要点重组 (1)对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件 (2)若事件A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)； 若事件A，B对立，则P(A)1P(B) 1从 10 个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为 0.2，是不可能事件的 概率为 0.3，则这 10 个事件中随机事件的个数是( ) A3B4C5D6 答案 C 解析 这 10 个事件中，必然事件的个数为 100.22，不
2、可能事件的个数为 100.33. 而必然事件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件，且它们的个数和为 10. 故随机事件的个数为 10235.故选 C. 2一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A至多有一次中靶B两次都中靶 C只有一次中靶D两次都不中靶 答案 D 解析 射击两次有四种可能，就是(中，不中)、(不中，中)、(中，中)、(不中，不中)， 其中“至少有一次中靶”含有前三种情况，选项 A、B、C 中都有与其重叠的部分，只有选 项 D 为其互斥事件，也是对立事件 3抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字 1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面 的
3、数是奇数” ，事件B表示“朝上一面的数不超过 3” ，则P(AB)_. 答案 2 3 解析 事件AB可以分成事件C：“朝上一面的数为 1,2,3”与事件D：“朝上一面的数 为 5”这两件事，则事件C和事件D互斥，故P(AB)P(CD)P(C)P(D) 3 6 1 6 4 6 . 2 3 4.某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有 39,32,33 个成员， 一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示现随机选取一个成员，他属于至少 2 个小组的概率是_，他属于不超过 2 个小组的概率是_ 答案 3 5 13 15 解析 “至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3
4、个小组”两种情况，故他属于至少 2 个小 组的概率为 P . 111078 6788101011 3 5 “不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组” ，其对立事件是“3 个小组” 故他属于不超过 2 个小组的概率是 P1. 8 6788101011 13 15 考点二 古典概型 方法技巧 求解古典概型的概率的两种常用方法 (1)直接法：将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概 率 (2)间接法：若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件，需要分类太多，而其对 立面的分类较少时，可考虑利用对立事件的概率公式进行求解，即“正难则反” 它常用来 求“至少”
5、或“至多”型事件的概率 5(2018全国)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都 是女同学的概率为( ) A0.6B0.5C0.4D0.3 答案 D 解析 设 2 名男同学为a，b，3 名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)， (a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 10 种， 而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 3 种，故所求概率为0.3. 3 10 6有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支
6、不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A. B. C. D. 4 5 3 5 2 5 1 5 答案 C 解析 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄 绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，其中取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有红 黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，所以所求概率P . 4 10 2 5 故选 C. 7有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和 蛇现在有个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是 老鹰和小鸡的概率是( ) A. B. C. D. 1
7、 2 1 3 1 4 1 5 答案 C 解析 向上的图案为鼠鹰、鼠蛇、鸡鹰、鸡蛇四种情况，其中向上的图案是鸡鹰的概率为 .故 1 4 选 C. 8.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段 OA，OB，OC，OD的中点，在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记 为F，设G为满足的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形 OG OE OF ABCD外(不含边界)的概率为_ 答案 3 4 解析 基本事件的总数是 4416， 在中，当，时， OG OE OF OG OP OQ OG OP ON OG ON OM OG OM OQ 点
8、G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余情况的 点G都在平行四边形外，故所求的概率是 1 . 4 16 3 4 考点三 离散型随机变量的期望和方差 要点重组 (1)相互独立事件同时发生的概率 P(AB)P(A)P(B) (2)独立重复试验、二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的 概率为 Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n. k n 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生 的概率为p，则P(Xk)Cpkqnk，其中 0p2，E(1)E(2) Cp1p2，E(1)E(
9、2)Dp10， 3m23m4mnn2n 3 mnmn1 n3mmn1 3 mnmn1 3mn 3 mn n 6 mn 即有p1p2.此时，2的取值为 1,2,3，P(21)， C2n C 2mn P(22)，P(23)， C1mC1n C 2mn C2m C 2mn 则E(2)1233p2， C2n C 2mn C1mC1n C 2mn C2m C 2mn C2n2C1mC1n3C2m C 2mn n3m nm 则有E(1)p2，E(1)E(2)故选 A. 9在等差数列an中，a42，a74，现从an的前 10 项中随机取数，每次取出一个数， 取后放回，连续抽取 3 次，假定每次取数互不影响，
10、那么在这三次取数中，取出的数恰好 为两个正数和一个负数的概率为_ 答案 6 25 解析 由已知可求得通项公式为an102n(n1,2,3，)，其中a1，a2，a3，a4为正数， a50，a6，a7，a8，a9，a10为负数，从中取一个数为正数的概率为 ，为负数的概率 4 10 2 5 为 .取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为 C 21 . 1 22 3 ( 2 5) ( 1 2) 6 25 10(2018浙江省余姚中学模拟)若随机变量的分布列如表所示，则E() _，D(21)_. 1 01 Pa 1 4 a2 答案 1 4 11 4 解析 由题意可知，a a21， 1 4 解得a (舍去
11、)或a ，E()1 0 1 ， 3 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 由方差的性质，得D(21)4D() 4. (1 1 4)2 1 2(0 1 4)2 1 4(1 1 4)2 1 4 11 4 11某央企申请在雄安新区建立分公司若规定每家央企只能在雄县、容城、安新 3 个片 区中的一个片区建立分公司，且申请在其中任一个片区建立是等可能的，每家央企选择哪 个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司，若向雄安新区申请建立分公 司的有 4 家央企，则恰有 2 家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率为_ 答案 8 27 解析 方法一 依题意，每家央企在“雄县”片区建立分公司的概
12、率为 ，去另外两个片区 1 3 建立分公司的概率为 ，这 4 家央企恰有 2 家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为 2 3 PC 22 . 2 4( 1 3) (1 1 3) 8 27 方法二 所有可能的申请方式有 34种，恰有 2 家央企申请在“雄县”片区建立分公司的方 式有 C 22种，从而恰有 2 家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为P. 2 4 C2 422 34 8 27 12(2018浙江省“七彩阳光”联盟联考)某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的 游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通关的概率分别为 ， (这个游戏 1 2 1 3 1 4 的游戏规则是：如果玩
13、者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的 得分会有影响)，则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为 _，设X表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量X的期望为_ 答案 1 4 13 12 解析 随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,3. 又P(X2) . (1 1 2) 1 3 1 4 1 2 (1 1 3) 1 4 1 2 1 3 (1 1 4) 1 4 P(X0) ， (1 1 2) (1 1 3) (1 1 4) 1 4 P(X1) ， 1 2 (1 1 3) (1 1 4) (1 1 2) 1 3 (1 1 4) (1 1 2) (1 1 3) 1 4 11 24 P(X3) . 1 2 1 3 1 4 1 24 所以，随机变量X的分布列为 X0123 P 1 4 11 24 1 4 1 24 随机变量X的期望E(X)0 12 3. 1 4 11 24 1 4 1 24 13 12
