《2020高考数学刷题首选第七章平面解析几何考点测试50抛物线文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考数学刷题首选第七章平面解析几何考点测试50抛物线文（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点测试考点测试 5050 抛物线抛物线 高考概览 本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为 5 分或 12 分，中、 高等难度 考纲研读 1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) 2理解数形结合的思想 3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用 一、基础小题 1抛物线yx2的准线方程是( ) 1 4 Ay1 By2 Cx1 Dx2 答案 A 解析 依题意，抛物线x24y的准线方程是y1，故选 A 2设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是 4，则点P到该抛物线准线的距离为( ) A4 B6 C8 D12 答案 B 解析 依题意得，
2、抛物线y28x的准线方程是x2，因此点P到该抛物线准线的距离为 426，故选 B 3到定点A(2，0)与定直线l：x2 的距离相等的点的轨迹方程为( ) Ay28x By28x Cx28y Dx28y 答案 A 解析 由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p4，焦点在x轴正半轴上，故选 A 4若抛物线y22px(p0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的 3 倍，则p等 2 于( ) A B1 C D2 1 2 3 2 答案 D 解析 由题意 3x0x0 ，x0 ，则2，p0，p2，故选 D p 2 p 4 p2 2 5过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，
3、y2)两点，若x1x26，则 |AB|等于( ) A4 B6 C8 D10 答案 C 解析 由抛物线y24x得p2，由抛物线定义可得|AB|x11x21x1x22，又因为 x1x26，所以|AB|8，故选 C 6若抛物线y4x2上一点到直线y4x5 的距离最短，则该点为( ) A(1，2) B(0，0) C，1 D(1，4) 1 2 答案 C 解析 解法一：根据题意，直线y4x5 必然与抛物线y4x2相离，抛物线上到直线的最 短距离的点就是与直线y4x5 平行的抛物线的切线的切点由y8x4 得x ，故抛物线 1 2 的斜率为 4 的切线的切点坐标是 ，1，该点到直线y4x5 的距离最短故选 C
4、 1 2 解法二：抛物线上的点(x，y)到直线y4x5 的距离是d |4xy5| 17 |4x4x25| 17 ，显然当x 时，d取得最小值，此时y1故选 C 4x1 224 17 1 2 7已知动圆过点(1，0)，且与直线x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_ 答案 y24x 解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x1 的距离相等， 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x 8已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足 |NF|MN|，则NMF_ 3 2 答案 6 解析 过N作准线的垂线，垂足是P，则有 |PN|
5、NF|，|PN|MN|，NMFMNP又 cosMNP，MNP，即NMF 3 2 3 2 6 6 二、高考小题 9(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为 的直线与C交 2 3 于M，N两点，则( ) FM FN A5 B6 C7 D8 答案 D 解析 根据题意，过点(2，0)且斜率为 的直线方程为y (x2)，与抛物线方程联立 2 3 2 3 Error!消去x并整理，得y26y80，解得M(1，2)，N(4，4)，又F(1，0)，所以(0，2)， FM (3，4)，从而可以求得03248，故选 D FN FM FN 10(2017全国卷)已知F为抛物线C：y2
6、4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为( ) A16 B14 C12 D10 答案 A 解析 因为F为y24x的焦点，所以F(1，0) 由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为 0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为 ，故直线 1 k l1，l2的方程分别为yk(x1)， y (x1) 1 k 由Error!得k2x2(2k24)xk20 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2，x1x21， 2k24 k2 所以|AB|x1x2| 1k2 1k2x1x224x1x2 1k2 2k24 k2
7、24 41k 2 k2 同理可得|DE|4(1k2) 所以|AB|DE|4(1k2)411k284k284216， 41k 2 k2 1 k2 1 k2 当且仅当k2，即k1 时，取得等号故选 A 1 k2 11(2018全国卷)已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线 与C交于A，B两点若AMB90，则k_ 答案 2 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error! 所以yy4x14x2， 2 12 2 所以k y1y2 x1x2 4 y1y2 取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1 的垂线，垂足分别为A，B 因为AMB90，所以|MM|
8、|AB| (|AF|BF|) (|AA|BB|) 1 2 1 2 1 2 因为M为AB的中点，所以MM平行于x轴 因为M(1，1)，所以y01，则y1y22，所以k2 12(2018北京高考)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴若l被抛物线y24ax截得的 线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_ 答案 (1，0) 解析 由题意得a0，设直线l与抛物线的两交点分别为A，B，不妨令A在B的上方，则 A(1，2)，B(1，2)，故|AB|44，得a1，故抛物线方程为y24x，其焦点坐标为 aaa (1，0) 13(2017天津高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l已知点C在l上，以C为圆 心的圆与
9、y轴的正半轴相切于点A若FAC120，则圆的方程为_ 答案 (x1)2(y)21 3 解析 由y24x可得点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x1 由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为1，圆的半径为 1，CAO90 又因为FAC120，所以OAF30，所以|OA|，所以点C的纵坐标为 33 所以圆的方程为(x1)2(y)21 3 三、模拟小题 14(2018沈阳监测)抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是( ) A(0，a) B(a，0) C D (0， 1 16a) ( 1 16a，0) 答案 C 解析 将y4ax2(a0)化为标准方程得x2y(a0)，所以焦点
10、坐标为，故选 C 1 4a (0， 1 16a) 15(2018太原三模)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与 抛物线交于M，N两点，若3，则|MN|( ) PF MF A B8 C16 D 16 3 8 3 3 答案 A 解析 由题意F(1，0)，设直线PF的方程为yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)因为准线 方程为x1，所以得P(1，2k)所以(2，2k)，(1x1，y1)，因为3， PF MF PF MF 所以 23(1x1)，解得x1 把yk(x1)代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，所以 1 3 x1x21，所以x23，从而得|MN|
11、MF|NF|(x11)(x21)x1x22故选 A 16 3 16(2018豫南九校联考)已知点P是抛物线x24y上的动点，点P在x轴上的射影是点 Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|PQ|的最小值为( ) A7 B8 C9 D10 答案 C 解析 延长PQ与准线交于M点，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y1，根据抛物线 的定义知，|PF|PM|PQ|1|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|1 11019当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|PQ|的最小值 82712 为 9故选 C 17(2018青岛质检)已知点A是抛物线C：x22py(p0)的对称轴与准线
12、的交点，过点A 作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若APQ的面积为 4，则实数p的值为( ) A B1 C D2 1 2 3 2 答案 D 解析 解法一：设过点A且与抛物线C相切的直线为ykx 由Error!得 p 2 x22pkxp20由 4p2k24p20，得k1，所以得点Pp， p 2 Qp，所以APQ的面积为S 2pp4，解得p2故选 D p 2 1 2 解法二：如图，设点P(x1，y1)， Q(x2，y2)由题意得点A0， yx2，求导得yx，所以切线PA的方程为 p 2 1 2p 1 p yy1x1(xx1)，即yx1xx，切线PB的方程为yy2x2(xx2)，即 1 p 1
13、 p 1 2p2 1 1 p yx2xx，代入A0， ，得点Pp，Qp，所以APQ的面积为S 2pp4，解得 1 p 1 2p2 2 p 2 p 2 p 2 1 2 p2故选 D 18(2018沈阳质检一)已知抛物线y24x的一条弦AB恰好以P(1，1)为中点，则弦AB所 在直线的方程是_ 答案 2xy10 解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B都在抛物线上，可得Error!作差得(y1y2)(y1y2) 4(x1x2)因为AB中点为P(1，1)，所以y1y22，则有 24，所以 y1y2 x1x2 kAB2，从而直线AB的方程为y12(x1)，即 2xy10 y1y2 x1x
14、2 一、高考大题 1(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2，0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交 于M，N两点 (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：ABMABN 解 (1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2，2)或(2，2) 所以直线BM的方程为yx1 或yx1 1 2 1 2 (2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以ABMABN 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x10，x20 由Error!得ky22y4k0，可知y1y2 ，y1y24 2 k 直线BM，BN的斜率之和为 kBMkBN y1 x12 y2 x22 x2y1x1y22y1y 2 x12x22 将x12，x22 及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得 y1 k y2 k
