《四川省成都市新都一中数学选修1-1同步练习：第三章 导数及其应用 综合检测 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省成都市新都一中数学选修1-1同步练习：第三章 导数及其应用 综合检测 （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章综合检测 一、选择题 1.物体运动的速度关于时间的方程为v= t4-3,则t=5 时的瞬时速度为( ). 1 4 A.5 B.25 C.125 D.625 【解析】v=t3,当t=5 时,v=125. 【答案】C 2.已知函数f(x)= x3+ax+4,则“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的( ). 1 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】f(x)= x2+a,当a0 时,f(x)0 恒成立,故“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充分不必要条件. 3 2 【答案】A 3.曲线y=-在点处的切线方程为( ). 1 ( 1
2、2, 2) A.y=4xB.y=4x-4 C.y=4x+4 D.y=2x-4 【解析】y=,y=4,即k=4,切线方程为y+2=4,即y=4x-4. 1 2 | =1 2 ( 1 2) 【答案】B 4.函数y=3x-x3的单调递增区间是( ). A.(0,+)B.(-,-1) C.(-1,1)D.(1,+) 【解析】y=3-3x2=-3(x+1)(x-1),令y0,解得-10,在(0,+)上,f(x)的符 号变化规律是负正负,故选 A. 【答案】A 6.设曲线f(x)=在点处的切线与直线x-ay+1=0 平行,则实数a等于( ). 1 + ( 2,1) A.-1B.C.-2 D.2 1 2 【
3、解析】f(x)= (1 + ) (1 + )() 2 =,所以f=-1. 1 2 ( 2) 由题意知-1=,解得a=-1. 1 【答案】A 7.函数f(x)=x3+ax-2 在区间1,+)上是增函数,则实数a的取值范围是( ). A.3,+)B.-3,+) C.(-3,+)D.(-,-3) 【解析】f(x)=x3+ax-2 在1,+)上是增函数, f(x)=3x2+a0 在x1,+)上恒成立, 即a-3x2在x1,+)上恒成立. 又g(x)=-3x2在1,+)上的最大值为g(1)=-3, a-3,故选 B. 【答案】B 8.函数y=xcos x-sin x在下面哪个区间内是增函数( ). A.
4、B.(,2) ( 2, 3 2) C.D.(2,3) ( 3 3 ,5 2) 【解析】y=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若y=f(x)在某区间内是增函数,则在此区间内y0. 当x(,2)时,y0 恒成立. 【答案】B 9.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于 13,则实数m的值为( ). A.-20 B.-19C.-18D.-17 【解析】y=-3x2+12x,令y=0,得x=0 或x=4. 当x(-,0),(4,+)时,y0,y为增函数, 所以当x=4 时,y取得极大值. 即-43+642+m=13,解得m=-19. 【答案】B 10.已知定义在实数集 R 上的函
5、数f(x)满足f(1)=2,且f(x)的导数f(x)在 R 上恒有f(x)1. 【答案】A 11.f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数,且满足xf(x)+f(x)0,对任意正数a、b,若a1 时,f(x)0,f(x)单调递增,当-10,f(x)为增函数; 当x0,2时,f(x)0; 奇函数f(x)=mx3+(m-1)x2+48(m-2)x+n在区间(-4,4)上单调递减. 其中假命题的序号是 . 【解析】中,函数f(x)=x3在 R 上单调递增,没有极值点,错; 中,f(x)=3ax2+2bx+c(a0),函数f(x)有极值点的充要条件是f(x)=0 有两个不相等的实根,所以=4b2-1
6、2ac0,也即b2- 3ac0,正确; 中,f(x)是奇函数,则f(0)=0n=0.又由f(-x)=-f(x),得(m-1)x2=0,因此m=1,所以f(x)=x3-48x.当x(-4,4)时,f(x)=3x2- 48=3(x+4)(x-4)0). (1)当a=1 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)求f(x)的单调区间; (3)若f(x)0 在区间1,e上恒成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)a=1,f(x)=x2-4x+2ln x, f(x)=(x0),f(1)=-3,f(1)=0, 22 4 + 2 切线方程为y=-3. (2)f(x)=(x0),令f(x
7、)=0 得x1=a,x2=1, 22 2( + 1) + 2 2( 1)( ) 若 00,当x(a,1)时,f(x)1,则当x(0,1)或(a,+)时,f(x)0,当x(1,a)时,f(x)0,故f(x)在区间(64,640)上为增函数. 所以f(x)在x=64 时取得最小值,此时,n= -1=-1=9, 640 64 故需新建 9 个桥墩才能使y最小. 21.已知函数f(x)=ln x+,a为常数. + 1 (1)若a=,求函数f(x)在1,e上的值域.(e 为自然对数的底数,e2.72) 9 2 (2)若函数g(x)=f(x)+x在1,2上为减函数,求实数a的取值范围. 【解析】(1)由题
8、意f(x)= -, 1 ( + 1)2 当a=时,f(x)= -=. 9 2 1 9 2 ( + 1)2 ( 2)(2 1) 2( + 1)2 x1,e,f(x)在1,2)上为减函数,在2,e上为增函数, 又f(2)=ln 2+,f(1)=,f(e)=1+,比较可得f(1)f(e), 3 2 9 4 9 2 + 2 f(x)的值域为. 2 + 3 2, 9 4 (2)由题意得g(x)= -+10 在1,2上恒成立, 1 ( + 1)2 a+(x+1)2=x2+3x+ +3 恒成立, ( + 1)2 1 设h(x)=x2+3x+ +3(1x2), 1 当 1x2 时,h(x)=2x+3- 0 恒
9、成立, 1 2 h(x)max=h(2)=,a, 27 2 27 2 即实数a的取值范围是. 27 2 , + ) 22.已知函数f(x)= +ln x. (1)若f(x)的一条切线是y=-x+3,求f(x)的单调区间. (2)设函数g(x)=f(x)-1 在上有两个零点,求实数a的取值范围. 1, 【解析】(1)显然x0,f(x)=- + . 2 1 设切点为(x0,y0),则f(x0)=-1,即- + =-1a=+x0. 2 0 1 0 2 0 y0=f(x0)= +ln x0=x0+1+ln x0,又y0=-x0+3. 0 ln x0=-2x0+2,解得x0=1,故a=2. 由f(x)=- + =0,得x=2. 2 2 1 2 2 因此当 02 时,f(x)0,f(x)单调递增. f(x)的单调递减区间是(0,2),单调递增区间是(2,+). (2)由题意得g(x)=f(x)=- + =(x0), 2 1 2 当a0 时,g(x)0,g(x)在上单调递增,因此不可能有两个零点;当a0 时,易得g(x)的单调递减区间是(0,a),单调递 1, 增区间是(a,+). g(x)=f(x)-1=0 在上有两解 1, 1 , ( 1) = 2 0, () = 0, () = 0, ? 解得实数a的取值范围是 2e-1a1.
