《四川省成都市新都一中数学选修2-1同步测试：第二章 第4课时 椭圆的简单几何性质 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省成都市新都一中数学选修2-1同步测试：第二章 第4课时 椭圆的简单几何性质 （4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 4 课时 椭圆的简单几何性质 基础达标(水平一 ) 1.已知椭圆+=1 的焦距为 4,则m等于( ). 2 10 2 2 A.4 B.8 C.4 或 8D.以上均不对 【解析】当椭圆的焦点在x轴上时,10-m-(m-2)=4,解得m=4;当椭圆的焦点在y轴上时,m-2-(10-m) =4,解得m=8.故选 C. 【答案】C 2.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,以线段F1F2为边作正MF1F2,若边MF1的中点在此椭圆上,则此椭圆的离 心率为( ). A.B.-1C.D.-1 3 1 22 2 23 【解析】如图,由题意知F1PF2为直角三角形, PF2F1=30, 又|F1F2|=2c,所
2、以|PF1|=c,|PF2|=c, 3 所以 2a=|PF1|+|PF2|=(1+)c, 3 所以=-1. 2 1 +3 2( 3 1) 23 【答案】D 3.若将一个椭圆绕中心旋转 90,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”. 下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程的是( ). A. + =1B. + =1 2 8 2 4 2 3 2 5 C. + =1 D. + =1 2 6 2 2 2 6 2 9 【解析】由题意,当b=c时,将一个椭圆绕中心旋转 90,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点, 即该椭圆为“对偶椭圆”.只有选项 A 中的b=c=2 符合题
3、意. 【答案】A 4.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF2为等腰直角三角形,则 椭圆的离心率是( ). A.B. C.2-D.-1 2 2 2 1 222 【解析】设椭圆焦点在x轴上,点P在x轴上方,则其坐标为,因为F1PF2为等腰直角三角形,所以 (, 2 ) |PF2|=|F1F2|,即=2c,即b2=2ac,a2-c2=2ac,等式两边同除以a2,化简得 1-e2=2e,解得e=-1,故选 D. 2 2 【答案】D 5.经过点(2,-3)且与椭圆 9x2+4y2=36 有共同焦点的椭圆方程为 . 【解析】椭圆 9x2+4y2=36 可化为+
4、 =1, 2 4 2 9 则它的两个焦点分别为(0,-),(0,). 55 设所求椭圆的方程为+=1(0). 2 2 + 5 又该椭圆过点(2,-3), 所以+=1,解得=10 或=-2(舍去). 4 9 + 5 所以所求椭圆的方程为+=1. 2 10 2 15 【答案】+=1 2 10 2 15 6.椭圆+ =1(ab0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比 2 2 2 2 数列,则该椭圆的离心率为 . 【解析】A、B分别为左、右顶点,F1、F2分别为左、右焦点,|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.又由 |
5、AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列,得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,离心率e=. 5 5 【答案】 5 5 7.已知椭圆C:+ =1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=,连接椭圆的四个顶点所得四边形的 2 2 2 2 2 2 面积为 4. 2 (1)求椭圆C的标准方程; (2)设A,B是直线l:x=2上不同的两点,若=0,求|AB|的最小值. 2 12 【解析】(1)由题意得 = = 2 2 , 2= 2+ 2, = 1 222 = 4 2, ? 解得 = 2, =2, =2. ? 所以椭圆C的标准方程为+ =1. 2 4 2 2 (2)由(1)知,点F
6、1(-,0),F2(,0),设直线l:x=2上不同的两点A,B的坐标分别为A(2,y1),B(2,y2), 22222 则=(-3,-y1),=(-,-y2),由=0 得y1y2+6=0, 1 2 2 2 12 即y2=-,不妨设y10,则|AB|=|y1-y2|=y1+2,当y1=,y2=-时取等号,所以|AB|的最小值是 2. 6 1 6 16666 拓展提升(水平二) 8.设F1,F2分别是椭圆E:+ =1(ab0)的左,右焦点,P为直线x=上一点,F2PF1是底角为 30的等腰三 2 2 2 2 3 2 角形,则E的离心率为( ). A.B.C.D. 1 2 2 3 3 4 4 5 【
7、解析】 设直线x=与x轴交于点M,则PF2M=60,在 RtPF2M中,|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=-c,故 cos 60= 3 2 3 2 =,解得=,故离心率e= . |2| |2| 3 2 2 1 2 3 4 3 4 【答案】C 9.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A、B1、B2分别为椭圆C:+ =1(ab0)的右、下、上顶点,F是椭 2 2 2 2 圆C的右焦点.若B2FAB1,则椭圆C的离心率是 . 【解析】由题意得-=-1b2=aca2-c2=ac1-e2=e,又 0b0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e. 2 2 2 2 (1)若e=,求椭圆的方程. 3
8、2 (2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点O在以MN为直径的 圆上,且e,求k的取值范围. 2 2 3 2 【解析】(1)由题意得解得a=2, = 3, = 3 2 , ? 3 又a2=b2+c2,解得b2=3, 所以椭圆的方程为+ =1. 2 12 2 3 (2)联立得(b2+a2k2)x2-a2b2=0. 2 2 + 2 2 = 1, = , ? 设点A(x1,y1),B(x2,y2), 所以x1+x2=0,x1x2=. 22 2+ 22 依题意,OMON, 易知,四边形OMF2N为平行四边形, 所以四边形OMF2N为矩形,所以AF2BF2, 因为=(x1-3,y1),=(x2-3,y2), 22 所以=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,即 +9=0, 2 2 2(2 9)(1 + 2) 22+ (2 9) 整理得 k2=-1-. 4 182+ 81 4+ 182 81 4 182 又因为e,所以 2a3,12a218, 2 2 3 232 所以k2 ,即k. 1 8 ( , 2 4 2 4 , + )
