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1、专题专题 5151 不等式不等式 基本不等式基本不等式 1 1 【考点讲解考点讲解】 一、具本目标：一、具本目标：基本不等式： . （1） 了解基本不等式的证明过程. （2） 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 考点剖析：利用基本不等式求函数的最值.备考重点：含参数的不等式恒成立问题.基本不等式是 不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节， 且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用 二、知识概述：二、知识概述： 基本不等式基本不等式 1.如果,Ra b，那么（当且仅当ab时取等号“=” ）. 推论：（,Ra
2、 b）. 2.如果0a ，0b ,则， （当且仅当ab时取等号“=” ）. 推论： （0a ，0b ） ；. 3 【方法提示】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运 用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆 项，并项，也可乘上一个数或加上一个数， “1”的代换法等 2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可 以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含 有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后
3、通 过解不等式进行求解 注意：形如yx (a0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函 a x 数的单调性求解 3.（1）在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件 “一正”是说每个项 都必须为正值， “二定”是说各个项的和(或积)必须为定值 “三相等”是说各项的值相等时，等 号成立 （2)多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一 致性 4.利用基本不等式解决实际问题时的一般步骤为： (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或
4、最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 4.利用均值不等式求最值要灵活运用两个公式， （1），当且仅当ab时 取等号；（2）, a bR ， ，当且仅当ab时取等号；首先要注意公式的使用 范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等” “作乘法” “1 的妙用” 求最值. 常见题型：常见题型：1.1.利用基本不等式证明：利用基本不等式证明：已知a、b、c都是正数，求证： 2.2.利用基本不等式求最值：利用基本不等式求最值： （1）已知 5 , 4 x 求函数的最小值； 拼凑成两正数之和,使其积为定值,运用均值不等式可求出最小值. 【解
5、析】 （1）由. , 当且仅当,即 3 2 x 时,函数取得最小值5. （2）已知 1 0 3 x,求函数的最大值. 【解析】由 1 0 3 x得, 当且仅当31 3xx ,即 1 6 x 时,函数取得最大值 1 12 . 【真题分析真题分析】 1.【2017 山东，文】若直线过点（1,2）,则 2a+b的最小值为 . 【解析】本题考点是基本不等式的具体应用.由直线过点（1,2）可得 12 1 ab , 所以.当且仅当ab2时等号成立. 【答案】8 2.【2017 天津，理 12 文 13】若, a bR，0ab ，则 44 41ab ab 的最小值为_. 【答案】4 3.【2019 优选题】
6、若正数x，y满足x3y5xy，则 3x4y的最小值是_ 【解析】本题考点是基本不等式的运用. (1)方法一 由x3y5xy可得1， 1 5y 3 5x 3x4y(3x4y)() 5. 1 5y 3 5x 9 5 4 5 3x 5y 12y 5x 13 5 12 5 当且仅当，即x1，y 时，等号成立， 3x 5y 12y 5x 1 2 3x4y的最小值是 5. 方法二 由x3y5xy得x， 3y 5y1 x0，y0，y ， 1 5 3x4y4y4y 4(y )25， 9y 5y1 13y1 5 9 5 4 54y 5y1 13 5 9 5 1 5 y1 5 1 5 13 5 36 25 当且仅
7、当y 时等号成立，(3x4y)min5. 1 2 【答案】5 4.【优选题】已知x，y(0，)，2x3( )y，若 (m0)的最小值为 3，则m_. 1 2 1 x m y 【答案】 5.【2015 高考四川，理 9】如果函数在区间 1 2 2 ，上单调递减，则mn的最大值为（ ） （A）16 （B）18 （C）25 （D） 81 2 【解析】本题考点是二次函数与基本不等式的综合应用. 2m 时，抛物线的对称轴为 8 2 n x m .据题意， 当2m 时，抛物线的开口向上，根据题意可得 8 2 2 n m 即212mn . 由2mn且212mn得3,6mn. 当2m 时，抛物线开口向下，据题
8、意得， 81 22 n m 即218mn. .由2nm且218mn得92m ，故应舍去.要使得 mn取得最大值，应有218mn.所以， 所以最大值为 18.选 B 【答案】B 6.【2016 优选题】已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50 的圆心，则 4 b 的最小值是( ) A9 B8 C4 D2 1 c 【答案】 A 7.【2016 优选题】设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1d1，则的最小值 Sn8 an 是_ 【解析】本题考点是数列与基本不等式的综合应用问题.因数数列an为等差数列，所以通项与和 分别为：ana1(n1)dn，Sn， n1n 2 (n1)
9、 (21) ， Sn8 an n1n 2 8 n 1 2 16 n 1 2 n16 n 9 2 当且仅当n4 时取等号的最小值是 . Sn8 an 9 2 【答案】 9 2 8.【2017 优选题】 若直线（0,0ab）始终平分圆的 周长，则 11 2ab 的最小值为 . 【解析】本题考点是圆与基本不等式的综合应用.直线平分圆周，则直线过圆心 1,1，所以有 （当且 仅当 2ba时取“=” ）. 【答案】 32 2 4 9. 【2017 优选题】 若两个正实数, x y满足，且恒成立，则 实数m的取值范围是 . 【答案】2,8 10.已知x,y均为正数,且xy,求证:. 【解析】本题考点是基本
10、不等式的具体应用，注意拚凑法的应用. 因为x0,y0,xy0, = , 所以 【模拟考场模拟考场】 1.已知，且，则的最小值为( ) A. 8 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】B 2.设0,1ab，若的最小值为（ ） A. 2 3 B.8 C.4 3 D.42 3 【答案】D 3. 已知函数，若且，则ab的取值范围是（ ） A 1 0, 2 B 1 0, 2 C 1 0, 4 D 1 0, 4 【解析】由已知得：， 所以.注意，因为ab，所以不能取等号.选 D. 【答案】D 4.下列函数中，最小值为 2 的是（ ） A. 1 yx x B. C. D. 【解析】当0x 时 ，当01x
11、 时 ， 2 ，当且仅当时取等号，由于 无解， 所以2； ，当且仅当x1时取等 号，所以选 D. 【答案】D 5.若两个正实数, x y满足 11 2 xy ，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. 1,2 B. C. D. 【答案】C 6. 已知，则的最小值为 ( ) A. 4 B. 8 C. 9 D. 6 【解析】=,当且仅当 成立时，等号成立，即。选 B. 【答案】B 7.设1x ，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 7 D. 13 【答案】B 8.设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时， 的最大值是( ) xy z 2 x 1 y 2 z A0
12、B1 C. D3 9 4 【解析】1，当且仅当x2y时等号成立， xy z xy x23xy4y2 1 x y 4y x 3 1 43 此时z2y2， ，当且仅当y1 时等号成立，故所求的最 2 x 1 y 2 z 1 y2 2 y 大值为 1.【答案】B 9.若直线mx+ny+2=0（m0，n0）截得圆的弦长为 2，则 13 mn 的最小 值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 16 【解析】圆心坐标为3, 1，半径为 1，又直线截圆得弦长为 2，所以直线过圆心，即 ， 32mn，所以 6，当且仅当 9nm mn 时取等号，因此最小值为 6，故选 B 【答案】B 10.对于使 f xM成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做 f x的上确界，若正数 , a bR且1ab，则 12 2ab 的上确界为（ ） A. 9 2 B. 9 2 C. 1 4 D. -4 【解析】,当且仅 当2ba 时取等号,因此 12 2ab 的上确界为 9 2 ,选 A. 【答案】A 11.已知正数, x y满足，则3xy的最小值为_. 【答案】25 12.设, ,a b c均为正数,且1abc,证明: 证明：由 得. 由题设得, 即. 所以,即.
